График функции y = 5/(x^2-25)

Вы ввели

          5   
f(x) = -------
        2     
       x  - 25

$$f{\left(x \right)} = \frac{5}{x^{2} - 25}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{5}{x^{2} - 25} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 5/(x^2 - 1*25).
$$\frac{5}{\left(-1\right) 25 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{5}$$
Точка:

(0, -1/5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{10 x}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1/5)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{10 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} - 1\right)}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5}{x^{2} - 25}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{x^{2} - 25}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 5/(x^2 - 1*25), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5}{x \left(x^{2} - 25\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{x \left(x^{2} - 25\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{5}{x^{2} - 25} = \frac{5}{x^{2} - 25}$$
- Да
$$\frac{5}{x^{2} - 25} = - \frac{5}{x^{2} - 25}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График