График функции y = 5*sin(x)-3

Вы ввели

f(x) = 5*sin(x) - 3

$$f{\left (x \right )} = 5 \sin{\left (x \right )} - 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$5 \sin{\left (x \right )} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{5} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{5} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 76.0417247949$$
$$x_{2} = 101.174466024$$
$$x_{3} = -43.3387960415$$
$$x_{4} = -5319.35986364$$
$$x_{5} = -81.0379078845$$
$$x_{6} = -55.9051666558$$
$$x_{7} = -116.882429292$$
$$x_{8} = -18.2060548127$$
$$x_{9} = 25.7762423375$$
$$x_{10} = -30.7724254271$$
$$x_{11} = -41.4842056055$$
$$x_{12} = 13.2098717232$$
$$x_{13} = 82.3249101021$$
$$x_{14} = 88.6080954093$$
$$x_{15} = -22.6346496839$$
$$x_{16} = 40.1972033879$$
$$x_{17} = -5.63968419839$$
$$x_{18} = 90.4626858453$$
$$x_{19} = 71.6131299238$$
$$x_{20} = -3.78509376238$$
$$x_{21} = 65.3299446166$$
$$x_{22} = -98.0328733701$$
$$x_{23} = 8.78127685198$$
$$x_{24} = -49.6219813486$$
$$x_{25} = -85.4665027557$$
$$x_{26} = 1106.48411517$$
$$x_{27} = 33.9140180807$$
$$x_{28} = 84.1795005381$$
$$x_{29} = 63.4753541806$$
$$x_{30} = -16.3514643767$$
$$x_{31} = 96.7458711525$$
$$x_{32} = -54.0505762198$$
$$x_{33} = -449.891250572$$
$$x_{34} = 32.0594276447$$
$$x_{35} = -87.3210931917$$
$$x_{36} = -28.9178349911$$
$$x_{37} = 6.92668641597$$
$$x_{38} = 69.7585394878$$
$$x_{39} = -66.6169468342$$
$$x_{40} = 19.4930570303$$
$$x_{41} = 50.9089835662$$
$$x_{42} = -93.6042784989$$
$$x_{43} = -72.9001321414$$
$$x_{44} = 52.7635740022$$
$$x_{45} = -79.1833174485$$
$$x_{46} = 21.3476474663$$
$$x_{47} = 46.4803886951$$
$$x_{48} = -35.2010202983$$
$$x_{49} = 38.3426129519$$
$$x_{50} = -24.4892401199$$
$$x_{51} = -91.7496880629$$
$$x_{52} = 94.8912807165$$
$$x_{53} = 27.6308327735$$
$$x_{54} = -62.188351963$$
$$x_{55} = -60.333761527$$
$$x_{56} = -68.4715372702$$
$$x_{57} = -142.01517052$$
$$x_{58} = 15.0644621592$$
$$x_{59} = 57.1921688734$$
$$x_{60} = -74.7547225774$$
$$x_{61} = 2.4980915448$$
$$x_{62} = 0.643501108793$$
$$x_{63} = -99.8874638061$$
$$x_{64} = -11.9228695056$$
$$x_{65} = 59.0467593094$$
$$x_{66} = -10.0682790696$$
$$x_{67} = 77.896315231$$
$$x_{68} = -37.0556107343$$
$$x_{69} = 44.6257982591$$
$$x_{70} = -47.7673909126$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 5*sin(x) - 3.
$$-3 + 5 \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:

(0, -3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$5 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 2)
 2     

 3*pi     
(----, -8)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 5 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 \sin{\left (x \right )} - 3\right) = \langle -8, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -8, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 \sin{\left (x \right )} - 3\right) = \langle -8, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -8, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 5*sin(x) - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(5 \sin{\left (x \right )} - 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(5 \sin{\left (x \right )} - 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$5 \sin{\left (x \right )} - 3 = - 5 \sin{\left (x \right )} - 3$$
- Нет
$$5 \sin{\left (x \right )} - 3 = - -1 \cdot 5 \sin{\left (x \right )} + 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной