График функции y = (5*x)/(x+5)

Вы ввели

        5*x 
f(x) = -----
       x + 5

$$f{\left (x \right )} = \frac{5 x}{x + 5}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{5 x}{x + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (5*x)/(x + 5).
$$\frac{0}{5} 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{5 x}{\left(x + 5\right)^{2}} + \frac{5}{x + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{\frac{10 x}{x + 5} - 10}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x}{x + 5}\right) = 5$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 5$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x}{x + 5}\right) = 5$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 5$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (5*x)/(x + 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5}{x + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{x + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{5 x}{x + 5} = - \frac{5 x}{- x + 5}$$
- Нет
$$\frac{5 x}{x + 5} = - \frac{-1 \cdot 5 x}{- x + 5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной