График функции y = 5^(sin(x)^2)

Вы ввели

           2   
        sin (x)
f(x) = 5       

$$f{\left (x \right )} = 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 5^(sin(x)^2).
$$5^{\sin^{2}{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \cdot 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi    
(--, 5)
 2     

(pi, 1)

 3*pi    
(----, 5)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[0, pi/2] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \cdot 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(2 \log{\left (5 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 5^{\langle 0, 1\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 5^{\langle 0, 1\rangle}$$
$$\lim_{x \to \infty} 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 5^{\langle 0, 1\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 5^{\langle 0, 1\rangle}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 5^(sin(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$
- Да
$$5^{\sin^{2}{\left (x \right )}} = - 5^{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной