График функции y = 7+atanh(x)

Вы ввели

f(x) = 7 + atanh(x)

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \tanh{\left (7 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.999998336943945$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 7 + atanh(x).
$$\operatorname{atanh}{\left (0 \right )} + 7$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 7$$
Точка:

(0, 7)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7\right) = 7 + \frac{i \pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 7 + \frac{i \pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7\right) = 7 - \frac{i \pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 7 - \frac{i \pi}{2}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 7 + atanh(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7 = - \operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7$$
- Нет
$$\operatorname{atanh}{\left (x \right )} + 7 = - -1 \operatorname{atanh}{\left (x \right )} - 7$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной