График функции y = (6-x)/(6+x)

Вы ввели

       6 - x
f(x) = -----
       6 + x

$$f{\left (x \right )} = \frac{- x + 6}{x + 6}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -6$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x + 6}{x + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 6$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (6 - x)/(6 + x).
$$\frac{1}{6} \left(- 0 + 6\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{- x + 6}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{1}{x + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x + 6\right)^{2}} \left(- \frac{2 x - 12}{x + 6} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -6$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + 6}{x + 6}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 6}{x + 6}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (6 - x)/(6 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + 6}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 6}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- x + 6}{x + 6} = \frac{x + 6}{- x + 6}$$
- Нет
$$\frac{- x + 6}{x + 6} = - \frac{x + 6}{- x + 6}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной