График функции y = 6*(t-sin(t))

Вы ввели

f(t) = 6*(t - sin(t))

$$f{\left(t \right)} = 6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:

Численное решение
$$t_{1} = -2.1240493551041 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{2} = -1.80175000295583 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{3} = -2.30650948881143 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{4} = 0$$
$$t_{5} = 9.87747756721168 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{6} = -8.95231865768492 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{7} = 0.000103586989846506$$
$$t_{8} = -8.65514725283832 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{9} = -9.83485862207226 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{10} = 2.49127326983744 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{11} = -1.98408831575722 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{12} = -1.47286646559006 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{13} = -0.000101863601827664$$
$$t_{14} = -2.52124917530246 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{15} = -3.17741918727463 \cdot 10^{-5}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда t равняется 0:
подставляем t = 0 в 6*(t - sin(t)).
$$6 \left(- \sin{\left(0 \right)}\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
первая производная
$$6 - 6 \cos{\left(t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(2*pi, 12*pi)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
вторая производная
$$6 \sin{\left(t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{t \to \infty}\left(6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6*(t - sin(t)), делённой на t при t->+oo и t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right)}{t}\right) = 6$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 6 t$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right)}{t}\right) = 6$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 6 t$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
$$6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right) = - 6 t + 6 \sin{\left(t \right)}$$
- Нет
$$6 \left(t - \sin{\left(t \right)}\right) = 6 t - 6 \sin{\left(t \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График