График функции y = sign(x^2-1)

Вы ввели

           / 2    \
f(x) = sign\x  - 1/

$$f{\left(x \right)} = \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{sign}{\left (x^{2} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sign(x^2 - 1*1).
$$\operatorname{sign}{\left(\left(-1\right) 1 + 0^{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(2 x^{2} \delta^{\left( 1 \right)}\left( x^{2} - 1 \right) + \delta\left(x^{2} - 1\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sign(x^2 - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)} = \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)}$$
- Да
$$\operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)} = - \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График