График функции y = sin(4*x-5)

Вы ввели

f(x) = sin(4*x - 5)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (4 x - 5 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (4 x - 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{5}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 71.9358347058$$
$$x_{2} = 53.8716769476$$
$$x_{3} = -85.9291961371$$
$$x_{4} = -53.7278714378$$
$$x_{5} = -75.7190200129$$
$$x_{6} = -12.1017687778$$
$$x_{7} = -13.6725651046$$
$$x_{8} = 34.2367228627$$
$$x_{9} = -92.9977796077$$
$$x_{10} = 46.0176953137$$
$$x_{11} = 74.292029196$$
$$x_{12} = 60.1548622548$$
$$x_{13} = 38.1637136797$$
$$x_{14} = 66.438047562$$
$$x_{15} = 30.3097320457$$
$$x_{16} = -63.938047562$$
$$x_{17} = -38.0199081699$$
$$x_{18} = 56.2278714378$$
$$x_{19} = 55.4424732744$$
$$x_{20} = 12.2455742876$$
$$x_{21} = -67.865038379$$
$$x_{22} = -93.7831777711$$
$$x_{23} = 97.0685759345$$
$$x_{24} = -57.6548622548$$
$$x_{25} = 42.0907044967$$
$$x_{26} = 35.8075191895$$
$$x_{27} = 70.365038379$$
$$x_{28} = 27.9535375555$$
$$x_{29} = 48.3738898038$$
$$x_{30} = -8.96017612417$$
$$x_{31} = 31.8805283725$$
$$x_{32} = 16.1725651046$$
$$x_{33} = 64.0818530718$$
$$x_{34} = 57.7986677646$$
$$x_{35} = -74.1482236862$$
$$x_{36} = -30.1659265359$$
$$x_{37} = 78.2190200129$$
$$x_{38} = -45.8738898038$$
$$x_{39} = 88.4291961371$$
$$x_{40} = 13.8163706144$$
$$x_{41} = -64.7234457254$$
$$x_{42} = -41.9468989869$$
$$x_{43} = -60.011056745$$
$$x_{44} = 68.0088438888$$
$$x_{45} = -1672.4334862$$
$$x_{46} = 20.0995559215$$
$$x_{47} = -39.5907044967$$
$$x_{48} = -17.5995559215$$
$$x_{49} = 5.96238898038$$
$$x_{50} = 24.0265467385$$
$$x_{51} = -100.066363078$$
$$x_{52} = -56.084065928$$
$$x_{53} = 100.210168588$$
$$x_{54} = 1.25$$
$$x_{55} = -89.8561869541$$
$$x_{56} = -112.632733693$$
$$x_{57} = 89.9999924639$$
$$x_{58} = 97.8539740979$$
$$x_{59} = 82.1460108299$$
$$x_{60} = 4.39159265359$$
$$x_{61} = 93.9269832809$$
$$x_{62} = 75.8628255228$$
$$x_{63} = -71.792029196$$
$$x_{64} = 2.0353981634$$
$$x_{65} = -78.0752145031$$
$$x_{66} = -1.89159265359$$
$$x_{67} = -52.157075111$$
$$x_{68} = 26.3827412287$$
$$x_{69} = 86.0730016469$$
$$x_{70} = 49.9446861306$$
$$x_{71} = 9.88937979737$$
$$x_{72} = -16.0287595947$$
$$x_{73} = 8.31858347058$$
$$x_{74} = -9.74557428756$$
$$x_{75} = -97.7101685881$$
$$x_{76} = -27.8097320457$$
$$x_{77} = -23.8827412287$$
$$x_{78} = -96.1393722613$$
$$x_{79} = -19.9557504117$$
$$x_{80} = 44.4468989869$$
$$x_{81} = -79.6460108299$$
$$x_{82} = -83.5730016469$$
$$x_{83} = -5.81858347058$$
$$x_{84} = -31.7367228627$$
$$x_{85} = 52.3008806208$$
$$x_{86} = -35.6637136797$$
$$x_{87} = -49.8008806208$$
$$x_{88} = -82.0022053201$$
$$x_{89} = 96.2831777711$$
$$x_{90} = -34.0929173529$$
$$x_{91} = 92.3561869541$$
$$x_{92} = -61.5818530718$$
$$x_{93} = -8.17477796077$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(4*x - 5).
$$\sin{\left (-5 + 0 \cdot 4 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \sin{\left (5 \right )}$$
Точка:

(0, -sin(5))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$4 \cos{\left (4 x - 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{8} + \frac{5}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8} + \frac{5}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 5   pi    
(- + --, 1)
 4   8     

 5   3*pi     
(- + ----, -1)
 4    8       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8} + \frac{5}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{5}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/8 + 5/4] U [3*pi/8 + 5/4, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/8 + 5/4, 3*pi/8 + 5/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 16 \sin{\left (4 x - 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{5}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 5/4] U [pi/4 + 5/4, oo)

Выпуклая на промежутках

[5/4, pi/4 + 5/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (4 x - 5 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (4 x - 5 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(4*x - 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (4 x - 5 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (4 x - 5 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (4 x - 5 \right )} = - \sin{\left (4 x + 5 \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (4 x - 5 \right )} = - -1 \sin{\left (4 x + 5 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной