График функции y = sin(4*x)+1

Вы ввели

f(x) = sin(4*x) + 1

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (4 x \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (4 x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Численное решение
$$x_{1} = -66.3661446973$$
$$x_{2} = -33.3794220507$$
$$x_{3} = 98.567469389$$
$$x_{4} = -60.0829594332$$
$$x_{5} = -61.653755885$$
$$x_{6} = -77.3617191923$$
$$x_{7} = -53.799774149$$
$$x_{8} = 68.7223393336$$
$$x_{9} = -99.3528677616$$
$$x_{10} = 87.57189528$$
$$x_{11} = -89.9280899396$$
$$x_{12} = 20.0276531245$$
$$x_{13} = -58.5121634186$$
$$x_{14} = 76.5763208145$$
$$x_{15} = 2.74889373159$$
$$x_{16} = 49.8727834643$$
$$x_{17} = 48.3019870147$$
$$x_{18} = 92.2842841758$$
$$x_{19} = -82.0741080135$$
$$x_{20} = -8.24668059419$$
$$x_{21} = 84.4303024715$$
$$x_{22} = 78.1471173828$$
$$x_{23} = -97.7820713167$$
$$x_{24} = -0.392698986135$$
$$x_{25} = -52.228977747$$
$$x_{26} = 43.5895981498$$
$$x_{27} = -47.5165889945$$
$$x_{28} = -63.2245518402$$
$$x_{29} = 10.6028750937$$
$$x_{30} = -22.3838475557$$
$$x_{31} = 21.5984495824$$
$$x_{32} = 34.1648201986$$
$$x_{33} = -31.808625564$$
$$x_{34} = 46.731190792$$
$$x_{35} = -80.5033119348$$
$$x_{36} = 71.8639320431$$
$$x_{37} = 84.4303027206$$
$$x_{38} = -41.2334033016$$
$$x_{39} = 13.7444679819$$
$$x_{40} = -23.9546440699$$
$$x_{41} = -69.5077375715$$
$$x_{42} = 32.5940236668$$
$$x_{43} = -25.5254404172$$
$$x_{44} = -36.5210148981$$
$$x_{45} = -9.81747697788$$
$$x_{46} = 42.0188017155$$
$$x_{47} = 64.009950304$$
$$x_{48} = -88.3572932691$$
$$x_{49} = -1.96349547006$$
$$x_{50} = -44.3749961262$$
$$x_{51} = 79.7179137087$$
$$x_{52} = 4.31968985435$$
$$x_{53} = 57.7267651334$$
$$x_{54} = -367.959039668$$
$$x_{55} = -3.53429183982$$
$$x_{56} = 86.0010988907$$
$$x_{57} = -55.3705706219$$
$$x_{58} = 70.2931355951$$
$$x_{59} = -91.4988861483$$
$$x_{60} = 18.4568567378$$
$$x_{61} = 62.4391538934$$
$$x_{62} = 5.89048630602$$
$$x_{63} = 48.3019869823$$
$$x_{64} = 27.8816348853$$
$$x_{65} = -14.5298663256$$
$$x_{66} = 40.4480053155$$
$$x_{67} = -11.3882734788$$
$$x_{68} = -96.2112749007$$
$$x_{69} = -83.6449044644$$
$$x_{70} = -17.6714587256$$
$$x_{71} = -39.6626073054$$
$$x_{72} = 54.5851722405$$
$$x_{73} = -85.2157006171$$
$$x_{74} = 35.7356165577$$
$$x_{75} = -16.1006622735$$
$$x_{76} = -45.945792678$$
$$x_{77} = 90.7134878812$$
$$x_{78} = 56.1559687898$$
$$x_{79} = 24.7400422577$$
$$x_{80} = 26.3108384344$$
$$x_{81} = -19.2422547864$$
$$x_{82} = 100.138265971$$
$$x_{83} = -67.9369412996$$
$$x_{84} = 93.8550806217$$
$$x_{85} = 27.8816346273$$
$$x_{86} = -38.0918108532$$
$$x_{87} = -30.2378291705$$
$$x_{88} = -74.2201263237$$
$$x_{89} = 65.5807467158$$
$$x_{90} = -75.7909227332$$
$$x_{91} = 12.1736716095$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(4*x) + 1.
$$\sin{\left (0 \cdot 4 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 \cos{\left (4 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 2)
 8     

 3*pi    
(----, 0)
  8      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/8] U [3*pi/8, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/8, 3*pi/8]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 16 \sin{\left (4 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(4*x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (4 x \right )} + 1 = - \sin{\left (4 x \right )} + 1$$
- Нет
$$\sin{\left (4 x \right )} + 1 = - -1 \sin{\left (4 x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной