График функции y = sin(pi/x)

Вы ввели

          /pi\
f(x) = sin|--|
          \x /

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(pi/x).
$$\sin{\left (\frac{\pi}{0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sin{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Точка:

(0, sin(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\pi}{x^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(2/3, -1)

(2, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{2}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках

[2/3, 2]

Возрастает на промежутках

(-oo, 2/3] U [2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\pi}{x^{3}} \left(2 \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )} - \frac{\pi}{x} \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.326244661396$$
$$x_{2} = -0.477566627239$$
$$x_{3} = -2.91732616213$$
$$x_{4} = -0.326244661396$$
$$x_{5} = 0.862222827945$$
$$x_{6} = -0.862222827945$$
$$x_{7} = 2.91732616213$$
$$x_{8} = -0.246935928007$$
$$x_{9} = 0.477566627239$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

True

True

- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2.91732616213, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2.91732616213]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(pi/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} = - \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )} = - -1 \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной