График функции y = sin(pi*x)

Вы ввели

f(x) = sin(pi*x)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 54$$
$$x_{2} = -92$$
$$x_{3} = 88$$
$$x_{4} = 74$$
$$x_{5} = 82$$
$$x_{6} = 86$$
$$x_{7} = 80$$
$$x_{8} = 66$$
$$x_{9} = -40$$
$$x_{10} = 42$$
$$x_{11} = 14$$
$$x_{12} = -38$$
$$x_{13} = -2$$
$$x_{14} = -100$$
$$x_{15} = 98$$
$$x_{16} = 38$$
$$x_{17} = -70$$
$$x_{18} = -4$$
$$x_{19} = -62$$
$$x_{20} = -98$$
$$x_{21} = 46$$
$$x_{22} = -30$$
$$x_{23} = 70$$
$$x_{24} = 52$$
$$x_{25} = 60$$
$$x_{26} = 10$$
$$x_{27} = -36$$
$$x_{28} = 100$$
$$x_{29} = -86$$
$$x_{30} = 8$$
$$x_{31} = 32$$
$$x_{32} = -54$$
$$x_{33} = -46$$
$$x_{34} = -22$$
$$x_{35} = -76$$
$$x_{36} = -44$$
$$x_{37} = -66$$
$$x_{38} = 30$$
$$x_{39} = 12$$
$$x_{40} = -10$$
$$x_{41} = -64$$
$$x_{42} = -6$$
$$x_{43} = -32$$
$$x_{44} = -16$$
$$x_{45} = -84$$
$$x_{46} = -34$$
$$x_{47} = 34$$
$$x_{48} = -94$$
$$x_{49} = 58$$
$$x_{50} = -82$$
$$x_{51} = -60$$
$$x_{52} = 20$$
$$x_{53} = 56$$
$$x_{54} = 90$$
$$x_{55} = 64$$
$$x_{56} = 72$$
$$x_{57} = 28$$
$$x_{58} = -18$$
$$x_{59} = 2$$
$$x_{60} = 0$$
$$x_{61} = -74$$
$$x_{62} = 6$$
$$x_{63} = -28$$
$$x_{64} = 96$$
$$x_{65} = 76$$
$$x_{66} = 44$$
$$x_{67} = -56$$
$$x_{68} = -78$$
$$x_{69} = -26$$
$$x_{70} = 16$$
$$x_{71} = -14$$
$$x_{72} = 50$$
$$x_{73} = -90$$
$$x_{74} = -12$$
$$x_{75} = 36$$
$$x_{76} = -20$$
$$x_{77} = 26$$
$$x_{78} = 62$$
$$x_{79} = 18$$
$$x_{80} = 24$$
$$x_{81} = 22$$
$$x_{82} = -72$$
$$x_{83} = -68$$
$$x_{84} = 68$$
$$x_{85} = -52$$
$$x_{86} = -50$$
$$x_{87} = -80$$
$$x_{88} = 4$$
$$x_{89} = -58$$
$$x_{90} = 94$$
$$x_{91} = -88$$
$$x_{92} = 84$$
$$x_{93} = -48$$
$$x_{94} = 92$$
$$x_{95} = -8$$
$$x_{96} = 48$$
$$x_{97} = -96$$
$$x_{98} = 78$$
$$x_{99} = -42$$
$$x_{100} = 40$$
$$x_{101} = -24$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(pi*x).
$$\sin{\left(\pi 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\pi \cos{\left(\pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(1/2, 1)

(3/2, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \pi^{2} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 1\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(pi*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\pi x \right)} = - \sin{\left(\pi x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\pi x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График