График функции y = sin(10*x)

Вы ввели

f(x) = sin(10*x)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (10 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (10 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{10}$$
Численное решение
$$x_{1} = -83.8805238508$$
$$x_{2} = 74.1415866247$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = -61.8893752757$$
$$x_{5} = 98.017690792$$
$$x_{6} = 10.0530964915$$
$$x_{7} = -27.9601746169$$
$$x_{8} = 78.2256570744$$
$$x_{9} = -57.8053048261$$
$$x_{10} = 36.1283155163$$
$$x_{11} = -33.9292006588$$
$$x_{12} = 80.1106126665$$
$$x_{13} = 88.5929128312$$
$$x_{14} = 16.0221225333$$
$$x_{15} = 14.1371669412$$
$$x_{16} = 54.0353936417$$
$$x_{17} = 84.1946831162$$
$$x_{18} = 100.21680565$$
$$x_{19} = -51.8362787842$$
$$x_{20} = -25.7610597594$$
$$x_{21} = 81.9955682587$$
$$x_{22} = 12.252211349$$
$$x_{23} = -7.85398163397$$
$$x_{24} = 70.0575161751$$
$$x_{25} = -136.659280431$$
$$x_{26} = 43.9822971503$$
$$x_{27} = 48.0663675999$$
$$x_{28} = -35.8141562509$$
$$x_{29} = 18.2212373908$$
$$x_{30} = 90.163709158$$
$$x_{31} = 30.1592894745$$
$$x_{32} = -47.7522083346$$
$$x_{33} = -11.9380520836$$
$$x_{34} = 20.106192983$$
$$x_{35} = -79.7964534012$$
$$x_{36} = -45.8672527424$$
$$x_{37} = -39.8982267006$$
$$x_{38} = -13.8230076758$$
$$x_{39} = 40.2123859659$$
$$x_{40} = -17.9070781255$$
$$x_{41} = 64.0884901332$$
$$x_{42} = 2.19911485751$$
$$x_{43} = -89.8495498927$$
$$x_{44} = -71.9424717672$$
$$x_{45} = 8.16814089933$$
$$x_{46} = -9.73893722613$$
$$x_{47} = -21.9911485751$$
$$x_{48} = 86.0796387084$$
$$x_{49} = 21.9911485751$$
$$x_{50} = 0$$
$$x_{51} = -16.0221225333$$
$$x_{52} = -69.7433569097$$
$$x_{53} = 52.1504380496$$
$$x_{54} = -60.0044196836$$
$$x_{55} = -91.7345054848$$
$$x_{56} = 92.0486647502$$
$$x_{57} = 24.1902634326$$
$$x_{58} = 4.08407044967$$
$$x_{59} = 50.2654824574$$
$$x_{60} = -53.407075111$$
$$x_{61} = -43.9822971503$$
$$x_{62} = -63.7743308679$$
$$x_{63} = -19.7920337176$$
$$x_{64} = 46.1814120078$$
$$x_{65} = 72.2566310326$$
$$x_{66} = -65.9734457254$$
$$x_{67} = -73.8274273594$$
$$x_{68} = -1.88495559215$$
$$x_{69} = 42.0973415581$$
$$x_{70} = 34.2433599241$$
$$x_{71} = -31.7300858013$$
$$x_{72} = 60.0044196836$$
$$x_{73} = -49.9513231921$$
$$x_{74} = -55.9203492339$$
$$x_{75} = 94.2477796077$$
$$x_{76} = 56.2345084993$$
$$x_{77} = -3.76991118431$$
$$x_{78} = -98.017690792$$
$$x_{79} = -29.8451302091$$
$$x_{80} = 32.0442450666$$
$$x_{81} = -5.96902604182$$
$$x_{82} = -93.9336203423$$
$$x_{83} = -23.8761041673$$
$$x_{84} = -81.9955682587$$
$$x_{85} = -38.0132711084$$
$$x_{86} = 62.2035345411$$
$$x_{87} = 58.1194640914$$
$$x_{88} = -67.8584013175$$
$$x_{89} = -41.7831822927$$
$$x_{90} = 26.0752190248$$
$$x_{91} = -87.9645943005$$
$$x_{92} = 96.1327351998$$
$$x_{93} = 68.1725605829$$
$$x_{94} = -85.765479443$$
$$x_{95} = -99.9026463842$$
$$x_{96} = 38.0132711084$$
$$x_{97} = 76.0265422169$$
$$x_{98} = -77.911497809$$
$$x_{99} = 37.6991118431$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(10*x).
$$\sin{\left (0 \cdot 10 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$10 \cos{\left (10 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{20}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{20}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 20    

 3*pi     
(----, -1)
  20      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{20}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{20}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/20] U [3*pi/20, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/20, 3*pi/20]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 100 \sin{\left (10 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{10}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/10, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/10]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (10 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (10 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(10*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (10 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (10 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (10 x \right )} = - \sin{\left (10 x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (10 x \right )} = - -1 \sin{\left (10 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной