График функции y = sin(2*t)

Вы ввели

f(t) = sin(2*t)

$$f{\left (t \right )} = \sin{\left (2 t \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (2 t \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:

Аналитическое решение
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$t_{1} = -95.8185759345$$
$$t_{2} = 78.5398163397$$
$$t_{3} = 73.8274273594$$
$$t_{4} = 36.1283155163$$
$$t_{5} = 56.5486677646$$
$$t_{6} = 23.5619449019$$
$$t_{7} = 51.8362787842$$
$$t_{8} = 14.1371669412$$
$$t_{9} = -51.8362787842$$
$$t_{10} = 12.5663706144$$
$$t_{11} = -97.3893722613$$
$$t_{12} = -7.85398163397$$
$$t_{13} = 89.5353906273$$
$$t_{14} = -23.5619449019$$
$$t_{15} = -119.380520836$$
$$t_{16} = 48.6946861306$$
$$t_{17} = 29.8451302091$$
$$t_{18} = 43.9822971503$$
$$t_{19} = 45.5530934771$$
$$t_{20} = 113.097335529$$
$$t_{21} = 92.6769832809$$
$$t_{22} = -483.805268653$$
$$t_{23} = -80.1106126665$$
$$t_{24} = -58.1194640914$$
$$t_{25} = 87.9645943005$$
$$t_{26} = 64.4026493986$$
$$t_{27} = 26.7035375555$$
$$t_{28} = -83.2522053201$$
$$t_{29} = 42.4115008235$$
$$t_{30} = 59.6902604182$$
$$t_{31} = -67.5442420522$$
$$t_{32} = -86.3937979737$$
$$t_{33} = -21.9911485751$$
$$t_{34} = -37.6991118431$$
$$t_{35} = 31.4159265359$$
$$t_{36} = 21.9911485751$$
$$t_{37} = -1.57079632679$$
$$t_{38} = -29.8451302091$$
$$t_{39} = 0$$
$$t_{40} = -14.1371669412$$
$$t_{41} = -94.2477796077$$
$$t_{42} = 67.5442420522$$
$$t_{43} = 86.3937979737$$
$$t_{44} = -17.2787595947$$
$$t_{45} = 15.7079632679$$
$$t_{46} = 50.2654824574$$
$$t_{47} = -53.407075111$$
$$t_{48} = -59.6902604182$$
$$t_{49} = 28.2743338823$$
$$t_{50} = -43.9822971503$$
$$t_{51} = -48.6946861306$$
$$t_{52} = -81.6814089933$$
$$t_{53} = 72.2566310326$$
$$t_{54} = 4.71238898038$$
$$t_{55} = -6.28318530718$$
$$t_{56} = 7.85398163397$$
$$t_{57} = -39.2699081699$$
$$t_{58} = -72.2566310326$$
$$t_{59} = -73.8274273594$$
$$t_{60} = -45.5530934771$$
$$t_{61} = 80.1106126665$$
$$t_{62} = 590.619418875$$
$$t_{63} = -61.261056745$$
$$t_{64} = 94.2477796077$$
$$t_{65} = 20.4203522483$$
$$t_{66} = -15.7079632679$$
$$t_{67} = -65.9734457254$$
$$t_{68} = 81.6814089933$$
$$t_{69} = 65.9734457254$$
$$t_{70} = 100.530964915$$
$$t_{71} = -89.5353906273$$
$$t_{72} = -42.4115008235$$
$$t_{73} = 58.1194640914$$
$$t_{74} = 95.8185759345$$
$$t_{75} = -36.1283155163$$
$$t_{76} = -31.4159265359$$
$$t_{77} = -75.3982236862$$
$$t_{78} = -9.42477796077$$
$$t_{79} = 6.28318530718$$
$$t_{80} = -87.9645943005$$
$$t_{81} = -50.2654824574$$
$$t_{82} = -64.4026493986$$
$$t_{83} = -20.4203522483$$
$$t_{84} = 34.5575191895$$
$$t_{85} = 37.6991118431$$
$$t_{86} = 70.6858347058$$
$$t_{87} = -40.8407044967$$
$$t_{88} = 1.57079632679$$
$$t_{89} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда t равняется 0:
подставляем t = 0 в sin(2*t).
$$\sin{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d t} f{\left (t \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left (t \right )} = $$
Первая производная
$$2 \cos{\left (2 t \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 4     

 3*pi     
(----, -1)
  4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$t_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/4, 3*pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left (t \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left (t \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \sin{\left (2 t \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty} \sin{\left (2 t \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \sin{\left (2 t \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*t), делённой на t при t->+oo и t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{1}{t} \sin{\left (2 t \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{1}{t} \sin{\left (2 t \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (2 t \right )} = - \sin{\left (2 t \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (2 t \right )} = - -1 \sin{\left (2 t \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной