График функции y = sin(2*x/3)

Вы ввели

          /2*x\
f(x) = sin|---|
          \ 3 /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 47.1238898038469$$
$$x_{2} = -80.1106126665397$$
$$x_{3} = -47.1238898038469$$
$$x_{4} = -9.42477796076938$$
$$x_{5} = -32.9867228626928$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = 61.261056745001$$
$$x_{8} = 23.5619449019235$$
$$x_{9} = 28.2743338823081$$
$$x_{10} = -14.1371669411541$$
$$x_{11} = -75.398223686155$$
$$x_{12} = 80.1106126665397$$
$$x_{13} = 56.5486677646163$$
$$x_{14} = -61.261056745001$$
$$x_{15} = -89.5353906273091$$
$$x_{16} = 89.5353906273091$$
$$x_{17} = 9.42477796076938$$
$$x_{18} = 37.6991118430775$$
$$x_{19} = -51.8362787842316$$
$$x_{20} = -4.71238898038469$$
$$x_{21} = 4.71238898038469$$
$$x_{22} = -28.2743338823081$$
$$x_{23} = 65.9734457253857$$
$$x_{24} = -23.5619449019235$$
$$x_{25} = 32.9867228626928$$
$$x_{26} = -65.9734457253857$$
$$x_{27} = -94.2477796076938$$
$$x_{28} = -70.6858347057703$$
$$x_{29} = -56.5486677646163$$
$$x_{30} = 14.1371669411541$$
$$x_{31} = -18.8495559215388$$
$$x_{32} = -37.6991118430775$$
$$x_{33} = -42.4115008234622$$
$$x_{34} = -98.9601685880785$$
$$x_{35} = 75.398223686155$$
$$x_{36} = 84.8230016469244$$
$$x_{37} = 18.8495559215388$$
$$x_{38} = 98.9601685880785$$
$$x_{39} = -84.8230016469244$$
$$x_{40} = 70.6858347057703$$
$$x_{41} = 94.2477796076938$$
$$x_{42} = 42.4115008234622$$
$$x_{43} = 51.8362787842316$$
$$x_{44} = -2148.84937505542$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x/3).
$$\sin{\left(2 \cdot 0 \cdot \frac{1}{3} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 3*pi    
(----, 1)
  4      

 9*pi     
(----, -1)
  4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{9 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{4 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График