График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sin(2*x/3). sin(2⋅0⋅31) Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 32cos(32x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=43π x2=49π Зн. экстремумы в точках:
3*pi
(----, 1)
4
9*pi
(----, -1)
4
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=49π Максимумы функции в точках: x1=43π Убывает на промежутках (−∞,43π]∪[49π,∞) Возрастает на промежутках [43π,49π]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная −94sin(32x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=23π
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,0]∪[23π,∞) Выпуклая на промежутках [0,23π]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞limsin(32x)=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−1,1⟩ x→∞limsin(32x)=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−1,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xsin(32x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(xsin(32x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: sin(32x)=−sin(32x) - Нет sin(32x)=sin(32x) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной