График функции y = sin(2*x/3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /2*x\
f(x) = sin|---|
          \ 3 /
f(x)=sin(2x3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}
График функции
0-80-70-60-50-40-30-20-10102030402-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin(2x3)=0\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=47.1238898038469x_{1} = 47.1238898038469
x2=80.1106126665397x_{2} = -80.1106126665397
x3=47.1238898038469x_{3} = -47.1238898038469
x4=9.42477796076938x_{4} = -9.42477796076938
x5=32.9867228626928x_{5} = -32.9867228626928
x6=0x_{6} = 0
x7=61.261056745001x_{7} = 61.261056745001
x8=23.5619449019235x_{8} = 23.5619449019235
x9=28.2743338823081x_{9} = 28.2743338823081
x10=14.1371669411541x_{10} = -14.1371669411541
x11=75.398223686155x_{11} = -75.398223686155
x12=80.1106126665397x_{12} = 80.1106126665397
x13=56.5486677646163x_{13} = 56.5486677646163
x14=61.261056745001x_{14} = -61.261056745001
x15=89.5353906273091x_{15} = -89.5353906273091
x16=89.5353906273091x_{16} = 89.5353906273091
x17=9.42477796076938x_{17} = 9.42477796076938
x18=37.6991118430775x_{18} = 37.6991118430775
x19=51.8362787842316x_{19} = -51.8362787842316
x20=4.71238898038469x_{20} = -4.71238898038469
x21=4.71238898038469x_{21} = 4.71238898038469
x22=28.2743338823081x_{22} = -28.2743338823081
x23=65.9734457253857x_{23} = 65.9734457253857
x24=23.5619449019235x_{24} = -23.5619449019235
x25=32.9867228626928x_{25} = 32.9867228626928
x26=65.9734457253857x_{26} = -65.9734457253857
x27=94.2477796076938x_{27} = -94.2477796076938
x28=70.6858347057703x_{28} = -70.6858347057703
x29=56.5486677646163x_{29} = -56.5486677646163
x30=14.1371669411541x_{30} = 14.1371669411541
x31=18.8495559215388x_{31} = -18.8495559215388
x32=37.6991118430775x_{32} = -37.6991118430775
x33=42.4115008234622x_{33} = -42.4115008234622
x34=98.9601685880785x_{34} = -98.9601685880785
x35=75.398223686155x_{35} = 75.398223686155
x36=84.8230016469244x_{36} = 84.8230016469244
x37=18.8495559215388x_{37} = 18.8495559215388
x38=98.9601685880785x_{38} = 98.9601685880785
x39=84.8230016469244x_{39} = -84.8230016469244
x40=70.6858347057703x_{40} = 70.6858347057703
x41=94.2477796076938x_{41} = 94.2477796076938
x42=42.4115008234622x_{42} = 42.4115008234622
x43=51.8362787842316x_{43} = 51.8362787842316
x44=2148.84937505542x_{44} = -2148.84937505542
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x/3).
sin(2013)\sin{\left(2 \cdot 0 \cdot \frac{1}{3} \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2cos(2x3)3=0\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
x2=9π4x_{2} = \frac{9 \pi}{4}
Зн. экстремумы в точках:
 3*pi    
(----, 1)
  4      

 9*pi     
(----, -1)
  4       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=9π4x_{1} = \frac{9 \pi}{4}
Максимумы функции в точках:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Убывает на промежутках
(,3π4][9π4,)\left(-\infty, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[3π4,9π4]\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
4sin(2x3)9=0- \frac{4 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{9} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,0][3π2,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[0,3π2]\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxsin(2x3)=1,1\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limxsin(2x3)=1,1\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(sin(2x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(sin(2x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin(2x3)=sin(2x3)\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}
- Нет
sin(2x3)=sin(2x3)\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = sin(2*x/3) /media/krcore-image-pods/hash/xy/0/52/0d2836a7a774b1e8fb5a0b2ab83af.png