График функции y = sin(2*x)-1

Вы ввели

f(x) = sin(2*x) - 1

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 82.4668070362749$$
$$x_{2} = 7.06858323491875$$
$$x_{3} = 0.785397933202895$$
$$x_{4} = -65.1880477975749$$
$$x_{5} = -80.8960110535094$$
$$x_{6} = -46.3384918201522$$
$$x_{7} = -43.1968987801324$$
$$x_{8} = -62.0464545510179$$
$$x_{9} = -74.6128252689663$$
$$x_{10} = 91.8915852031867$$
$$x_{11} = 16.4933612990544$$
$$x_{12} = 38.4845098780771$$
$$x_{13} = 7.06858364655338$$
$$x_{14} = -52.621676693071$$
$$x_{15} = -14.9225649210104$$
$$x_{16} = -65.1880480738962$$
$$x_{17} = -62.0464548641931$$
$$x_{18} = 35.3429176094788$$
$$x_{19} = 13.3517690013813$$
$$x_{20} = -30.6305281172761$$
$$x_{21} = 88.7499922419838$$
$$x_{22} = 10.2101761576945$$
$$x_{23} = -14.9225653376224$$
$$x_{24} = 57.334066070126$$
$$x_{25} = -27.4889358588398$$
$$x_{26} = 19.6349542839773$$
$$x_{27} = 73.0420289540461$$
$$x_{28} = 66.7588436646782$$
$$x_{29} = -74.6128250890583$$
$$x_{30} = 25.9181398404781$$
$$x_{31} = -90.320788607123$$
$$x_{32} = 47.9092880421864$$
$$x_{33} = -24.3473428722772$$
$$x_{34} = -24.3473430701779$$
$$x_{35} = -77.754418173028$$
$$x_{36} = -2.35619429411883$$
$$x_{37} = -46.3384914504975$$
$$x_{38} = -87.1791967606238$$
$$x_{39} = 57.3340661848436$$
$$x_{40} = -80.8960106270747$$
$$x_{41} = -40.0553062823371$$
$$x_{42} = 85.6084000178882$$
$$x_{43} = 3.92699088042162$$
$$x_{44} = 101.316363152916$$
$$x_{45} = -21.2057506438029$$
$$x_{46} = -33.7721210085969$$
$$x_{47} = -52.6216765719183$$
$$x_{48} = 95.0331775275438$$
$$x_{49} = 95.0331779096874$$
$$x_{50} = 51.0508807796768$$
$$x_{51} = 41.6261028620108$$
$$x_{52} = -55.7632695910029$$
$$x_{53} = 63.6172514399813$$
$$x_{54} = 76.1836219129628$$
$$x_{55} = -2.35619439286547$$
$$x_{56} = -99.745566754733$$
$$x_{57} = -68.3296400287794$$
$$x_{58} = 60.4756584571505$$
$$x_{59} = 98.1747705006042$$
$$x_{60} = -84.0376034464448$$
$$x_{61} = -8.6393795270917$$
$$x_{62} = -96.6039738449592$$
$$x_{63} = -5.49778727991785$$
$$x_{64} = 73.0420293451081$$
$$x_{65} = -58.9048620578704$$
$$x_{66} = -96.6039736043971$$
$$x_{67} = 44.7676950874451$$
$$x_{68} = 35.3429175338589$$
$$x_{69} = -8.63937954158422$$
$$x_{70} = 32.2013247418177$$
$$x_{71} = 29.0597318077204$$
$$x_{72} = 79.3252147600926$$
$$x_{73} = -87.1791963743373$$
$$x_{74} = -49.4800844377116$$
$$x_{75} = -18.064157700815$$
$$x_{76} = 69.9004366227711$$
$$x_{77} = 25.9181394614117$$
$$x_{78} = -71.471233016533$$
$$x_{79} = -93.4623815953041$$
$$x_{80} = -58.9048624818554$$
$$x_{81} = 79.3252146099091$$
$$x_{82} = -43.1968992207295$$
$$x_{83} = -36.9137134891678$$
$$x_{84} = 29.0597322134693$$
$$x_{85} = -153.15264217109$$
$$x_{86} = 51.0508803807674$$
$$x_{87} = -30.6305280514717$$
$$x_{88} = -11.7809724257318$$
$$x_{89} = 13.3517690340018$$
$$x_{90} = -36.9137139098865$$
$$x_{91} = 54.192473326822$$
$$x_{92} = 22.7765465102862$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + \sin{\left(2 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi        
(--, 1 - 1)
 4         

 3*pi         
(----, -1 - 1)
  4           

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 0\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(2 x \right)} - 1 = - \sin{\left(2 x \right)} - 1$$
- Нет
$$\sin{\left(2 x \right)} - 1 = \sin{\left(2 x \right)} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График