График функции y = sin(2*x-3)

Вы ввели

f(x) = sin(2*x - 3)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (2 x - 3 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (2 x - 3 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.3185759345$$
$$x_{2} = 94.1769832809$$
$$x_{3} = 42.3407044967$$
$$x_{4} = -58.1902604182$$
$$x_{5} = 34.4867228627$$
$$x_{6} = -45.6238898038$$
$$x_{7} = 58.0486677646$$
$$x_{8} = 72.1858347058$$
$$x_{9} = 1.5$$
$$x_{10} = 78.4690200129$$
$$x_{11} = 7.78318530718$$
$$x_{12} = 62.761056745$$
$$x_{13} = 100.460168588$$
$$x_{14} = -0.0707963267949$$
$$x_{15} = -26.7743338823$$
$$x_{16} = 15.6371669412$$
$$x_{17} = -66.0442420522$$
$$x_{18} = -152.438040026$$
$$x_{19} = -28.3451302091$$
$$x_{20} = -61.3318530718$$
$$x_{21} = -67.615038379$$
$$x_{22} = -53.4778714378$$
$$x_{23} = 56.4778714378$$
$$x_{24} = -51.907075111$$
$$x_{25} = 70.615038379$$
$$x_{26} = 29.7743338823$$
$$x_{27} = -39.3407044967$$
$$x_{28} = -42.4822971503$$
$$x_{29} = -31.4867228627$$
$$x_{30} = -72.3274273594$$
$$x_{31} = -44.0530934771$$
$$x_{32} = 80.0398163397$$
$$x_{33} = -59.761056745$$
$$x_{34} = -64.4734457254$$
$$x_{35} = 65.9026493986$$
$$x_{36} = 20.3495559215$$
$$x_{37} = -6.35398163397$$
$$x_{38} = 14.0663706144$$
$$x_{39} = 21.9203522483$$
$$x_{40} = 45.4822971503$$
$$x_{41} = 59.6194640914$$
$$x_{42} = 12.4955742876$$
$$x_{43} = 36.0575191895$$
$$x_{44} = -92.7477796077$$
$$x_{45} = 43.9115008235$$
$$x_{46} = 37.6283155163$$
$$x_{47} = -36.1991118431$$
$$x_{48} = -88.0353906273$$
$$x_{49} = 81.6106126665$$
$$x_{50} = 6.21238898038$$
$$x_{51} = -83.3230016469$$
$$x_{52} = -23.6327412287$$
$$x_{53} = -9.49557428756$$
$$x_{54} = -17.3495559215$$
$$x_{55} = 28.2035375555$$
$$x_{56} = 40.7699081699$$
$$x_{57} = -86.4645943005$$
$$x_{58} = -80.1814089933$$
$$x_{59} = 23.4911485751$$
$$x_{60} = 4.64159265359$$
$$x_{61} = -29.9159265359$$
$$x_{62} = 108.314150222$$
$$x_{63} = -97.4601685881$$
$$x_{64} = -20.4911485751$$
$$x_{65} = 271.676968209$$
$$x_{66} = -15.7787595947$$
$$x_{67} = -50.3362787842$$
$$x_{68} = -37.7699081699$$
$$x_{69} = 51.7654824574$$
$$x_{70} = -75.4690200129$$
$$x_{71} = 26.6327412287$$
$$x_{72} = -95.8893722613$$
$$x_{73} = 64.3318530718$$
$$x_{74} = 73.7566310326$$
$$x_{75} = 87.8937979737$$
$$x_{76} = -89.6061869541$$
$$x_{77} = 84.7522053201$$
$$x_{78} = 92.6061869541$$
$$x_{79} = -81.7522053201$$
$$x_{80} = 86.3230016469$$
$$x_{81} = 48.6238898038$$
$$x_{82} = -73.8982236862$$
$$x_{83} = 95.7477796077$$
$$x_{84} = -1.64159265359$$
$$x_{85} = 50.1946861306$$
$$x_{86} = -22.0619449019$$
$$x_{87} = -7.92477796077$$
$$x_{88} = -14.2079632679$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x - 3).
$$\sin{\left (-3 + 0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \sin{\left (3 \right )}$$
Точка:

(0, -sin(3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \cos{\left (2 x - 3 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 3   3*pi     
(- + ----, -1)
 2    4       

 3   pi    
(- + --, 1)
 2   4     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/4 + 3/2] U [3/2 + 3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/4 + 3/2, 3/2 + 3*pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \sin{\left (2 x - 3 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 3/2] U [3/2 + pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[3/2, 3/2 + pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (2 x - 3 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (2 x - 3 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (2 x - 3 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (2 x - 3 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (2 x - 3 \right )} = - \sin{\left (2 x + 3 \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (2 x - 3 \right )} = - -1 \sin{\left (2 x + 3 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной