График функции y = sin(2*x)+1

Вы ввели

f(x) = sin(2*x) + 1

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(2 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -44.7676954314418$$
$$x_{2} = 49.4800845342934$$
$$x_{3} = 36.9137134309271$$
$$x_{4} = -82.4668069282144$$
$$x_{5} = 62.0464548195549$$
$$x_{6} = -19.6349541554673$$
$$x_{7} = -44.7676950635734$$
$$x_{8} = 27.4889359573966$$
$$x_{9} = 62.0464547256144$$
$$x_{10} = -85.608399894653$$
$$x_{11} = -7.06858355298869$$
$$x_{12} = 43.1968988259316$$
$$x_{13} = -38.4845103583538$$
$$x_{14} = -63.6172513149926$$
$$x_{15} = 2.35619442440536$$
$$x_{16} = 46.3384915843947$$
$$x_{17} = -91.8915845717239$$
$$x_{18} = 80.8960105951638$$
$$x_{19} = -95.0331777492301$$
$$x_{20} = -76.1836217239439$$
$$x_{21} = 87.1791959595656$$
$$x_{22} = -51.0508806461775$$
$$x_{23} = -22.7765468685351$$
$$x_{24} = -29.0597322955756$$
$$x_{25} = -88.7499922112266$$
$$x_{26} = 21.2057502602382$$
$$x_{27} = -0.785397916651749$$
$$x_{28} = -10.2101759860574$$
$$x_{29} = -60.4756583509459$$
$$x_{30} = 71.471233111112$$
$$x_{31} = 55.7632697006301$$
$$x_{32} = -38.4845097737495$$
$$x_{33} = -54.1924731445711$$
$$x_{34} = 30.6305281863893$$
$$x_{35} = -13.3517689698773$$
$$x_{36} = -95.0331780209134$$
$$x_{37} = 36.9137135281996$$
$$x_{38} = 93.462381687851$$
$$x_{39} = -3.92699107594367$$
$$x_{40} = 80.896010582516$$
$$x_{41} = -66.758843637313$$
$$x_{42} = 77.7544183301131$$
$$x_{43} = 65.1880478021829$$
$$x_{44} = -29.0597320982225$$
$$x_{45} = -73.0420291965934$$
$$x_{46} = -88.7499925537801$$
$$x_{47} = -98.1747703033985$$
$$x_{48} = 96.6039739212089$$
$$x_{49} = 55.7632697511726$$
$$x_{50} = 33.7721211721652$$
$$x_{51} = 68.3296401645238$$
$$x_{52} = -16.4933611966261$$
$$x_{53} = 52.6216767646073$$
$$x_{54} = -32.2013245652766$$
$$x_{55} = 14.9225648553046$$
$$x_{56} = 8.63937960822746$$
$$x_{57} = -51.0508808708243$$
$$x_{58} = 99.7455669089878$$
$$x_{59} = -60.4756585174615$$
$$x_{60} = -41.6261027352652$$
$$x_{61} = 90.3207887447523$$
$$x_{62} = 65.1880473923958$$
$$x_{63} = -7.0685837201977$$
$$x_{64} = 84.0376034199549$$
$$x_{65} = -76.1836225361187$$
$$x_{66} = 43.1968992294597$$
$$x_{67} = 58.9048620635881$$
$$x_{68} = -0.785398304611266$$
$$x_{69} = -35.3429178934093$$
$$x_{70} = 40.0553062099627$$
$$x_{71} = 58.9048620066655$$
$$x_{72} = -22.7765464900166$$
$$x_{73} = 11.7809725930891$$
$$x_{74} = 18.0641575837788$$
$$x_{75} = 5.49778738042301$$
$$x_{76} = 24.3473430043575$$
$$x_{77} = -57.3340661259123$$
$$x_{78} = -73.0420294459387$$
$$x_{79} = 21.2057506565108$$
$$x_{80} = -79.3252147038408$$
$$x_{81} = 96.6039739773235$$
$$x_{82} = -96953.4762811305$$
$$x_{83} = 87.1791963746667$$
$$x_{84} = -35.3429175479242$$
$$x_{85} = -66.7588439932285$$
$$x_{86} = 74.6128253428807$$
$$x_{87} = -101.316363786262$$
$$x_{88} = 14.9225649892472$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x) + 1.
$$\sin{\left(2 \cdot 0 \right)} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 2)
 4     

 3*pi    
(----, 0)
  4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(2 x \right)} + 1 = 1 - \sin{\left(2 x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(2 x \right)} + 1 = \sin{\left(2 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График