График функции y = sin(2*x)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2     
f(x) = sin (2*x)
f(x)=sin2(2x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)}
График функции
01020304050607080-1002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin2(2x)=0\sin^{2}{\left(2 x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Численное решение
x1=81.6814091152362x_{1} = 81.6814091152362
x2=1.57079626356835x_{2} = -1.57079626356835
x3=23.5619449483644x_{3} = 23.5619449483644
x4=65.9734457653935x_{4} = -65.9734457653935
x5=29.8451303084991x_{5} = 29.8451303084991
x6=65.9734457525462x_{6} = 65.9734457525462
x7=87.9645943351391x_{7} = 87.9645943351391
x8=28.2743337586152x_{8} = -28.2743337586152
x9=89.5353907315491x_{9} = -89.5353907315491
x10=31.4159266517141x_{10} = -31.4159266517141
x11=97.3893725907902x_{11} = -97.3893725907902
x12=45.5530935075531x_{12} = 45.5530935075531
x13=28.2743338652921x_{13} = 28.2743338652921
x14=83.2522051669813x_{14} = -83.2522051669813
x15=50.2654823342013x_{15} = -50.2654823342013
x16=45.5530935761698x_{16} = -45.5530935761698
x17=72.256630710694x_{17} = 72.256630710694
x18=75.3982237985682x_{18} = -75.3982237985682
x19=73.8274274646672x_{19} = 73.8274274646672
x20=7.85398150696156x_{20} = -7.85398150696156
x21=72.2566309100272x_{21} = -72.2566309100272
x22=58.1194640062544x_{22} = -58.1194640062544
x23=100.530964798296x_{23} = 100.530964798296
x24=37.6991118766796x_{24} = -37.6991118766796
x25=87.9645943594276x_{25} = -87.9645943594276
x26=100.530965206253x_{26} = -100.530965206253
x27=6.28318518328035x_{27} = -6.28318518328035
x28=80.1106131511482x_{28} = 80.1106131511482
x29=70.6858346557926x_{29} = 70.6858346557926
x30=117.809724442492x_{30} = 117.809724442492
x31=39.2699081045218x_{31} = -39.2699081045218
x32=26.7035375390573x_{32} = 26.7035375390573
x33=80.1106125854791x_{33} = -80.1106125854791
x34=1.57079638652515x_{34} = 1.57079638652515
x35=1.57079642013166x_{35} = -1.57079642013166
x36=36.1283154718409x_{36} = 36.1283154718409
x37=95.818575868455x_{37} = -95.818575868455
x38=95.8185756842062x_{38} = 95.8185756842062
x39=89.5353906153414x_{39} = 89.5353906153414
x40=59.6902604569585x_{40} = -59.6902604569585
x41=48.6946860958663x_{41} = 48.6946860958663
x42=97.3893723711949x_{42} = -97.3893723711949
x43=20.4203521774723x_{43} = -20.4203521774723
x44=0x_{44} = 0
x45=64.4026493150839x_{45} = 64.4026493150839
x46=73.8274272808521x_{46} = -73.8274272808521
x47=61.2610566398387x_{47} = -61.2610566398387
x48=92.6769832182628x_{48} = 92.6769832182628
x49=53.4070752253874x_{49} = -53.4070752253874
x50=58.1194645366003x_{50} = -58.1194645366003
x51=86.3937978937855x_{51} = 86.3937978937855
x52=14.1371670778185x_{52} = 14.1371670778185
x53=6.28318528443138x_{53} = 6.28318528443138
x54=42.4115007432387x_{54} = -42.4115007432387
x55=67.5442421539445x_{55} = -67.5442421539445
x56=56.5486676469942x_{56} = 56.5486676469942
x57=36.128315427252x_{57} = -36.128315427252
x58=17.2787595621355x_{58} = -17.2787595621355
x59=7.85398173011892x_{59} = 7.85398173011892
x60=9.42477807759933x_{60} = -9.42477807759933
x61=12.5663704969137x_{61} = 12.5663704969137
x62=14.1371668484631x_{62} = -14.1371668484631
x63=50.2654824463816x_{63} = 50.2654824463816
x64=43.9822971747455x_{64} = -43.9822971747455
x65=95.8185760424586x_{65} = 95.8185760424586
x66=15.7079633917898x_{66} = 15.7079633917898
x67=21.9911485851564x_{67} = 21.9911485851564
x68=42.4115007365289x_{68} = 42.4115007365289
x69=51.8362786915081x_{69} = -51.8362786915081
x70=21.9911485864927x_{70} = -21.9911485864927
x71=72.2566310277248x_{71} = 72.2566310277248
x72=51.8362788866811x_{72} = 51.8362788866811
x73=37.6991119665793x_{73} = 37.6991119665793
x74=64.402649310466x_{74} = -64.402649310466
x75=20.4203521581227x_{75} = 20.4203521581227
x76=86.3937978789102x_{76} = -86.3937978789102
x77=43.9822971692691x_{77} = 43.9822971692691
x78=94.247779486083x_{78} = -94.247779486083
x79=78.5398162225044x_{79} = 78.5398162225044
x80=4.71238898608896x_{80} = 4.71238898608896
x81=34.5575190717885x_{81} = 34.5575190717885
x82=94.247779609353x_{82} = 94.247779609353
x83=29.8451301000724x_{83} = -29.8451301000724
x84=67.5442420634706x_{84} = 67.5442420634706
x85=81.6814090370675x_{85} = -81.6814090370675
x86=23.5619449982306x_{86} = -23.5619449982306
x87=15.7079632962205x_{87} = -15.7079632962205
x88=59.690260541069x_{88} = 59.690260541069
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x)^2.
sin2(20)\sin^{2}{\left(2 \cdot 0 \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
4sin(2x)cos(2x)=04 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 4     

 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi    
(----, 1)
  4      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Максимумы функции в точках:
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Убывает на промежутках
[0,π4][π2,)\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
8(sin2(2x)+cos2(2x))=08 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
x2=π8x_{2} = \frac{\pi}{8}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π8,π8]\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]
Выпуклая на промежутках
(,π8][π8,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxsin2(2x)=0,1\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
limxsin2(2x)=0,1\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(sin2(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(sin2(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin2(2x)=sin2(2x)\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)}
- Да
sin2(2x)=sin2(2x)\sin^{2}{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = sin(2*x)^2 /media/krcore-image-pods/hash/xy/b/4d/901e71d55c4661b44362b1d2b772b.png