Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin2(2x)=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=0
x2=2π
Численное решение
x1=81.6814091152362
x2=−1.57079626356835
x3=23.5619449483644
x4=−65.9734457653935
x5=29.8451303084991
x6=65.9734457525462
x7=87.9645943351391
x8=−28.2743337586152
x9=−89.5353907315491
x10=−31.4159266517141
x11=−97.3893725907902
x12=45.5530935075531
x13=28.2743338652921
x14=−83.2522051669813
x15=−50.2654823342013
x16=−45.5530935761698
x17=72.256630710694
x18=−75.3982237985682
x19=73.8274274646672
x20=−7.85398150696156
x21=−72.2566309100272
x22=−58.1194640062544
x23=100.530964798296
x24=−37.6991118766796
x25=−87.9645943594276
x26=−100.530965206253
x27=−6.28318518328035
x28=80.1106131511482
x29=70.6858346557926
x30=117.809724442492
x31=−39.2699081045218
x32=26.7035375390573
x33=−80.1106125854791
x34=1.57079638652515
x35=−1.57079642013166
x36=36.1283154718409
x37=−95.818575868455
x38=95.8185756842062
x39=89.5353906153414
x40=−59.6902604569585
x41=48.6946860958663
x42=−97.3893723711949
x43=−20.4203521774723
x44=0
x45=64.4026493150839
x46=−73.8274272808521
x47=−61.2610566398387
x48=92.6769832182628
x49=−53.4070752253874
x50=−58.1194645366003
x51=86.3937978937855
x52=14.1371670778185
x53=6.28318528443138
x54=−42.4115007432387
x55=−67.5442421539445
x56=56.5486676469942
x57=−36.128315427252
x58=−17.2787595621355
x59=7.85398173011892
x60=−9.42477807759933
x61=12.5663704969137
x62=−14.1371668484631
x63=50.2654824463816
x64=−43.9822971747455
x65=95.8185760424586
x66=15.7079633917898
x67=21.9911485851564
x68=42.4115007365289
x69=−51.8362786915081
x70=−21.9911485864927
x71=72.2566310277248
x72=51.8362788866811
x73=37.6991119665793
x74=−64.402649310466
x75=20.4203521581227
x76=−86.3937978789102
x77=43.9822971692691
x78=−94.247779486083
x79=78.5398162225044
x80=4.71238898608896
x81=34.5575190717885
x82=94.247779609353
x83=−29.8451301000724
x84=67.5442420634706
x85=−81.6814090370675
x86=−23.5619449982306
x87=−15.7079632962205
x88=59.690260541069
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x)^2.
sin2(2⋅0)
Результат:
f(0)=0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
4sin(2x)cos(2x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0
x2=4π
x3=2π
x4=43π
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
pi
(--, 1)
4
pi
(--, 0)
2
3*pi
(----, 1)
4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0
x2=2π
Максимумы функции в точках:
x2=4π
x2=43π
Убывает на промежутках
[0,4π]∪[2π,∞)
Возрастает на промежутках
(−∞,0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
8(−sin2(2x)+cos2(2x))=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−8π
x2=8π
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[−8π,8π]
Выпуклая на промежутках
(−∞,−8π]∪[8π,∞)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞limsin2(2x)=⟨0,1⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨0,1⟩
x→∞limsin2(2x)=⟨0,1⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨0,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xsin2(2x))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(xsin2(2x))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin2(2x)=sin2(2x)
- Да
sin2(2x)=−sin2(2x)
- Нет
значит, функция
является
чётной