График функции y = sin(2*x)^2

Вы ввели

          2     
f(x) = sin (2*x)

$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 81.6814091152362$$
$$x_{2} = -1.57079626356835$$
$$x_{3} = 23.5619449483644$$
$$x_{4} = -65.9734457653935$$
$$x_{5} = 29.8451303084991$$
$$x_{6} = 65.9734457525462$$
$$x_{7} = 87.9645943351391$$
$$x_{8} = -28.2743337586152$$
$$x_{9} = -89.5353907315491$$
$$x_{10} = -31.4159266517141$$
$$x_{11} = -97.3893725907902$$
$$x_{12} = 45.5530935075531$$
$$x_{13} = 28.2743338652921$$
$$x_{14} = -83.2522051669813$$
$$x_{15} = -50.2654823342013$$
$$x_{16} = -45.5530935761698$$
$$x_{17} = 72.256630710694$$
$$x_{18} = -75.3982237985682$$
$$x_{19} = 73.8274274646672$$
$$x_{20} = -7.85398150696156$$
$$x_{21} = -72.2566309100272$$
$$x_{22} = -58.1194640062544$$
$$x_{23} = 100.530964798296$$
$$x_{24} = -37.6991118766796$$
$$x_{25} = -87.9645943594276$$
$$x_{26} = -100.530965206253$$
$$x_{27} = -6.28318518328035$$
$$x_{28} = 80.1106131511482$$
$$x_{29} = 70.6858346557926$$
$$x_{30} = 117.809724442492$$
$$x_{31} = -39.2699081045218$$
$$x_{32} = 26.7035375390573$$
$$x_{33} = -80.1106125854791$$
$$x_{34} = 1.57079638652515$$
$$x_{35} = -1.57079642013166$$
$$x_{36} = 36.1283154718409$$
$$x_{37} = -95.818575868455$$
$$x_{38} = 95.8185756842062$$
$$x_{39} = 89.5353906153414$$
$$x_{40} = -59.6902604569585$$
$$x_{41} = 48.6946860958663$$
$$x_{42} = -97.3893723711949$$
$$x_{43} = -20.4203521774723$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = 64.4026493150839$$
$$x_{46} = -73.8274272808521$$
$$x_{47} = -61.2610566398387$$
$$x_{48} = 92.6769832182628$$
$$x_{49} = -53.4070752253874$$
$$x_{50} = -58.1194645366003$$
$$x_{51} = 86.3937978937855$$
$$x_{52} = 14.1371670778185$$
$$x_{53} = 6.28318528443138$$
$$x_{54} = -42.4115007432387$$
$$x_{55} = -67.5442421539445$$
$$x_{56} = 56.5486676469942$$
$$x_{57} = -36.128315427252$$
$$x_{58} = -17.2787595621355$$
$$x_{59} = 7.85398173011892$$
$$x_{60} = -9.42477807759933$$
$$x_{61} = 12.5663704969137$$
$$x_{62} = -14.1371668484631$$
$$x_{63} = 50.2654824463816$$
$$x_{64} = -43.9822971747455$$
$$x_{65} = 95.8185760424586$$
$$x_{66} = 15.7079633917898$$
$$x_{67} = 21.9911485851564$$
$$x_{68} = 42.4115007365289$$
$$x_{69} = -51.8362786915081$$
$$x_{70} = -21.9911485864927$$
$$x_{71} = 72.2566310277248$$
$$x_{72} = 51.8362788866811$$
$$x_{73} = 37.6991119665793$$
$$x_{74} = -64.402649310466$$
$$x_{75} = 20.4203521581227$$
$$x_{76} = -86.3937978789102$$
$$x_{77} = 43.9822971692691$$
$$x_{78} = -94.247779486083$$
$$x_{79} = 78.5398162225044$$
$$x_{80} = 4.71238898608896$$
$$x_{81} = 34.5575190717885$$
$$x_{82} = 94.247779609353$$
$$x_{83} = -29.8451301000724$$
$$x_{84} = 67.5442420634706$$
$$x_{85} = -81.6814090370675$$
$$x_{86} = -23.5619449982306$$
$$x_{87} = -15.7079632962205$$
$$x_{88} = 59.690260541069$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x)^2.
$$\sin^{2}{\left(2 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 4     

 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi    
(----, 1)
  4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$8 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График