График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sin(2*x)^3. sin3(0⋅2) Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 6sin2(2x)cos(2x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=4π x3=2π x4=43π Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
pi
(--, 1)
4
pi
(--, 0)
2
3*pi
(----, -1)
4
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x4=43π Максимумы функции в точках: x4=4π Убывает на промежутках
(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)
Возрастает на промежутках
[pi/4, 3*pi/4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 12(−sin2(2x)+2cos2(2x))sin(2x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=2π x3=−atan(−3+2) x4=atan(−3+2) x5=−atan(3+2) x6=atan(3+2)
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[atan(sqrt(sqrt(3) + 2)), oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -atan(sqrt(sqrt(3) + 2))]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞limsin3(2x)=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−1,1⟩ x→∞limsin3(2x)=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−1,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1sin3(2x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1sin3(2x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: sin3(2x)=−sin3(2x) - Нет sin3(2x)=−−1sin3(2x) - Да значит, функция является нечётной