График функции y = sin(2*x)^(3)

Вы ввели

          3     
f(x) = sin (2*x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{3}{\left (2 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{3}{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 43.9823032463$$
$$x_{2} = 86.3937639772$$
$$x_{3} = -80.1105796228$$
$$x_{4} = 53.4070752212$$
$$x_{5} = 20.4203130844$$
$$x_{6} = 97.3893536226$$
$$x_{7} = -1.57083712711$$
$$x_{8} = -51.8362627763$$
$$x_{9} = -45.5530734086$$
$$x_{10} = -29.8451154937$$
$$x_{11} = -59.6902756492$$
$$x_{12} = 50.2654784109$$
$$x_{13} = -56.5486851591$$
$$x_{14} = -34.557553456$$
$$x_{15} = -73.8274111994$$
$$x_{16} = 80.110603732$$
$$x_{17} = 64.4026136371$$
$$x_{18} = -43.9823032243$$
$$x_{19} = 28.2743275435$$
$$x_{20} = 14.1371746617$$
$$x_{21} = 95.8186236594$$
$$x_{22} = -36.1282783755$$
$$x_{23} = 40.8407298906$$
$$x_{24} = -39.2699584209$$
$$x_{25} = -17.2788129093$$
$$x_{26} = -7.85396964399$$
$$x_{27} = 51.8363232536$$
$$x_{28} = -87.9646059112$$
$$x_{29} = 7.85402257865$$
$$x_{30} = -81.6814263637$$
$$x_{31} = 73.8274734896$$
$$x_{32} = 21.9911516409$$
$$x_{33} = -58.1194289615$$
$$x_{34} = -14.1371278628$$
$$x_{35} = -3.14157070125$$
$$x_{36} = 29.8451729503$$
$$x_{37} = -37.6991248992$$
$$x_{38} = 72.2566292959$$
$$x_{39} = -61.2611031899$$
$$x_{40} = -95.8185604573$$
$$x_{41} = 75.3982550673$$
$$x_{42} = -78.5398182899$$
$$x_{43} = -23.5619872944$$
$$x_{44} = 31.4158857181$$
$$x_{45} = 6.28317669991$$
$$x_{46} = 87.9646062619$$
$$x_{47} = 62.831904211$$
$$x_{48} = 42.4114633393$$
$$x_{49} = -15.7079741154$$
$$x_{50} = -45.5531374166$$
$$x_{51} = -21.9911516396$$
$$x_{52} = -100.530953779$$
$$x_{53} = 58.1194604142$$
$$x_{54} = -12.5664201122$$
$$x_{55} = 94.2477801895$$
$$x_{56} = -67.5442874929$$
$$x_{57} = 36.128317736$$
$$x_{58} = -65.9734546804$$
$$x_{59} = 65.9734547917$$
$$x_{60} = 0$$
$$x_{61} = -89.5354375223$$
$$x_{62} = -83.2522470339$$
$$x_{63} = 18.8495547811$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x)^3.
$$\sin^{3}{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 4     

 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/4, 3*pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) \sin{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{5} = - \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{6} = \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[atan(sqrt(sqrt(3) + 2)), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -atan(sqrt(sqrt(3) + 2))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{3}{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{3}{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{3}{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{3}{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{3}{\left (2 x \right )} = - \sin^{3}{\left (2 x \right )}$$
- Нет
$$\sin^{3}{\left (2 x \right )} = - -1 \sin^{3}{\left (2 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной