График функции y = sin(2*x)^(3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3     
f(x) = sin (2*x)
f(x)=sin3(2x)f{\left (x \right )} = \sin^{3}{\left (2 x \right )}
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin3(2x)=0\sin^{3}{\left (2 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Численное решение
x1=43.9823032463x_{1} = 43.9823032463
x2=86.3937639772x_{2} = 86.3937639772
x3=80.1105796228x_{3} = -80.1105796228
x4=53.4070752212x_{4} = 53.4070752212
x5=20.4203130844x_{5} = 20.4203130844
x6=97.3893536226x_{6} = 97.3893536226
x7=1.57083712711x_{7} = -1.57083712711
x8=51.8362627763x_{8} = -51.8362627763
x9=45.5530734086x_{9} = -45.5530734086
x10=29.8451154937x_{10} = -29.8451154937
x11=59.6902756492x_{11} = -59.6902756492
x12=50.2654784109x_{12} = 50.2654784109
x13=56.5486851591x_{13} = -56.5486851591
x14=34.557553456x_{14} = -34.557553456
x15=73.8274111994x_{15} = -73.8274111994
x16=80.110603732x_{16} = 80.110603732
x17=64.4026136371x_{17} = 64.4026136371
x18=43.9823032243x_{18} = -43.9823032243
x19=28.2743275435x_{19} = 28.2743275435
x20=14.1371746617x_{20} = 14.1371746617
x21=95.8186236594x_{21} = 95.8186236594
x22=36.1282783755x_{22} = -36.1282783755
x23=40.8407298906x_{23} = 40.8407298906
x24=39.2699584209x_{24} = -39.2699584209
x25=17.2788129093x_{25} = -17.2788129093
x26=7.85396964399x_{26} = -7.85396964399
x27=51.8363232536x_{27} = 51.8363232536
x28=87.9646059112x_{28} = -87.9646059112
x29=7.85402257865x_{29} = 7.85402257865
x30=81.6814263637x_{30} = -81.6814263637
x31=73.8274734896x_{31} = 73.8274734896
x32=21.9911516409x_{32} = 21.9911516409
x33=58.1194289615x_{33} = -58.1194289615
x34=14.1371278628x_{34} = -14.1371278628
x35=3.14157070125x_{35} = -3.14157070125
x36=29.8451729503x_{36} = 29.8451729503
x37=37.6991248992x_{37} = -37.6991248992
x38=72.2566292959x_{38} = 72.2566292959
x39=61.2611031899x_{39} = -61.2611031899
x40=95.8185604573x_{40} = -95.8185604573
x41=75.3982550673x_{41} = 75.3982550673
x42=78.5398182899x_{42} = -78.5398182899
x43=23.5619872944x_{43} = -23.5619872944
x44=31.4158857181x_{44} = 31.4158857181
x45=6.28317669991x_{45} = 6.28317669991
x46=87.9646062619x_{46} = 87.9646062619
x47=62.831904211x_{47} = 62.831904211
x48=42.4114633393x_{48} = 42.4114633393
x49=15.7079741154x_{49} = -15.7079741154
x50=45.5531374166x_{50} = -45.5531374166
x51=21.9911516396x_{51} = -21.9911516396
x52=100.530953779x_{52} = -100.530953779
x53=58.1194604142x_{53} = 58.1194604142
x54=12.5664201122x_{54} = -12.5664201122
x55=94.2477801895x_{55} = 94.2477801895
x56=67.5442874929x_{56} = -67.5442874929
x57=36.128317736x_{57} = 36.128317736
x58=65.9734546804x_{58} = -65.9734546804
x59=65.9734547917x_{59} = 65.9734547917
x60=0x_{60} = 0
x61=89.5354375223x_{61} = -89.5354375223
x62=83.2522470339x_{62} = -83.2522470339
x63=18.8495547811x_{63} = 18.8495547811
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x)^3.
sin3(02)\sin^{3}{\left (0 \cdot 2 \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
6sin2(2x)cos(2x)=06 \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 4     

 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  4       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Максимумы функции в точках:
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
Убывает на промежутках
(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках
[pi/4, 3*pi/4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
12(sin2(2x)+2cos2(2x))sin(2x)=012 \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) \sin{\left (2 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=atan(3+2)x_{3} = - \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{3} + 2} \right )}
x4=atan(3+2)x_{4} = \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{3} + 2} \right )}
x5=atan(3+2)x_{5} = - \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}
x6=atan(3+2)x_{6} = \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[atan(sqrt(sqrt(3) + 2)), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -atan(sqrt(sqrt(3) + 2))]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxsin3(2x)=1,1\lim_{x \to -\infty} \sin^{3}{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
limxsin3(2x)=1,1\lim_{x \to \infty} \sin^{3}{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xsin3(2x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{3}{\left (2 x \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xsin3(2x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{3}{\left (2 x \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin3(2x)=sin3(2x)\sin^{3}{\left (2 x \right )} = - \sin^{3}{\left (2 x \right )}
- Нет
sin3(2x)=1sin3(2x)\sin^{3}{\left (2 x \right )} = - -1 \sin^{3}{\left (2 x \right )}
- Да
значит, функция
является
нечётной