График функции y = sin(cos(x)^(2))

Вы ввели

          /   2   \
f(x) = sin\cos (x)/

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.57079642948$$
$$x_{2} = 17.2787597998$$
$$x_{3} = 4.71238877546$$
$$x_{4} = 76.9690198091$$
$$x_{5} = -92.6769828463$$
$$x_{6} = -48.6946859168$$
$$x_{7} = -58.1194639995$$
$$x_{8} = 45.5530936922$$
$$x_{9} = 70.6858345072$$
$$x_{10} = 92.6769830846$$
$$x_{11} = 92.6769833069$$
$$x_{12} = 281.172542964$$
$$x_{13} = 51.8362788997$$
$$x_{14} = 20.4203521499$$
$$x_{15} = -86.3937977708$$
$$x_{16} = 381.703506797$$
$$x_{17} = -32.9867231115$$
$$x_{18} = 70.6858352006$$
$$x_{19} = -54.977871617$$
$$x_{20} = 95.8185760586$$
$$x_{21} = -26.7035370064$$
$$x_{22} = -70.6858341659$$
$$x_{23} = 61.2610569427$$
$$x_{24} = 1.57079619636$$
$$x_{25} = -26.7035373443$$
$$x_{26} = -95.8185758681$$
$$x_{27} = -89.5353907464$$
$$x_{28} = -80.1106125797$$
$$x_{29} = -10.9955744765$$
$$x_{30} = 39.2699085906$$
$$x_{31} = -51.8362786898$$
$$x_{32} = 61.2610565035$$
$$x_{33} = 80.1106131458$$
$$x_{34} = -61.2610569554$$
$$x_{35} = -70.6858344895$$
$$x_{36} = -98.9601687556$$
$$x_{37} = -58.1194640025$$
$$x_{38} = -54.9778716473$$
$$x_{39} = 36.1283155957$$
$$x_{40} = -64.4026491934$$
$$x_{41} = -10.9955745786$$
$$x_{42} = -20.4203520389$$
$$x_{43} = 54.9778712372$$
$$x_{44} = 86.3937978884$$
$$x_{45} = -7.85398149873$$
$$x_{46} = -45.553093588$$
$$x_{47} = -4.71238877209$$
$$x_{48} = -92.6769830625$$
$$x_{49} = -39.2699083785$$
$$x_{50} = -29.8451300964$$
$$x_{51} = 64.4026493088$$
$$x_{52} = 17.2787600637$$
$$x_{53} = -42.4115006161$$
$$x_{54} = -17.2787598016$$
$$x_{55} = 67.544242269$$
$$x_{56} = 10.9955739516$$
$$x_{57} = 58.1194644573$$
$$x_{58} = -98.9601687274$$
$$x_{59} = 7.85398174035$$
$$x_{60} = 89.5353908457$$
$$x_{61} = 73.8274274792$$
$$x_{62} = 26.7035373526$$
$$x_{63} = -32.986723047$$
$$x_{64} = 54.9778710064$$
$$x_{65} = 23.5619451152$$
$$x_{66} = -20.4203522235$$
$$x_{67} = -76.969020186$$
$$x_{68} = 48.6946859298$$
$$x_{69} = -14.1371668395$$
$$x_{70} = -23.5619450088$$
$$x_{71} = 23.5619444255$$
$$x_{72} = 83.2522055137$$
$$x_{73} = -76.9690201865$$
$$x_{74} = 83.2522056453$$
$$x_{75} = -83.2522055321$$
$$x_{76} = 1.57079653821$$
$$x_{77} = 42.4115007293$$
$$x_{78} = 10.9955740943$$
$$x_{79} = 98.960168066$$
$$x_{80} = 98.9601683814$$
$$x_{81} = -4.71238846662$$
$$x_{82} = 32.9867226656$$
$$x_{83} = 29.8451303201$$
$$x_{84} = -73.82742728$$
$$x_{85} = 32.9867224796$$
$$x_{86} = -73.8274267521$$
$$x_{87} = 61.2610571172$$
$$x_{88} = 76.9690195341$$
$$x_{89} = -36.1283154194$$
$$x_{90} = -48.6946855663$$
$$x_{91} = 39.2699083714$$
$$x_{92} = 14.1371671038$$
$$x_{93} = -67.5442421672$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(cos(x)^2).
$$\sin{\left (\cos^{2}{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sin{\left (1 \right )}$$
Точка:

(0, sin(1))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, sin(1))

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, sin(1))

 3*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \pi$$
Убывает на промежутках

[3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [pi, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -39.9535297523$$
$$x_{2} = -58.8030856739$$
$$x_{3} = -77.6526415954$$
$$x_{4} = -96.502197517$$
$$x_{5} = 10.3119527051$$
$$x_{6} = 63.7190278161$$
$$x_{7} = -46.2367150595$$
$$x_{8} = -48.0110645482$$
$$x_{9} = -0.887174744321$$
$$x_{10} = -19.7367306659$$
$$x_{11} = -70.0022131233$$
$$x_{12} = 43.0951224059$$
$$x_{13} = 85.7101763912$$
$$x_{14} = -13.4535453587$$
$$x_{15} = 91.9933616984$$
$$x_{16} = -79.4269910841$$
$$x_{17} = -61.9446783275$$
$$x_{18} = 4.02876739791$$
$$x_{19} = -33.6703444452$$
$$x_{20} = -24.2455664844$$
$$x_{21} = 73.1438057769$$
$$x_{22} = -98.2765470056$$
$$x_{23} = -17.9623811772$$
$$x_{24} = 83.9358269026$$
$$x_{25} = -85.7101763912$$
$$x_{26} = -91.9933616984$$
$$x_{27} = 19.7367306659$$
$$x_{28} = 48.0110645482$$
$$x_{29} = -80.794234249$$
$$x_{30} = 54.2942498553$$
$$x_{31} = 65.0862709811$$
$$x_{32} = 30.5287517916$$
$$x_{33} = -22.8783233194$$
$$x_{34} = 32.3031012802$$
$$x_{35} = -83.9358269026$$
$$x_{36} = -11.67919587$$
$$x_{37} = 96.502197517$$
$$x_{38} = 29.1615086266$$
$$x_{39} = -26.019915973$$
$$x_{40} = 17.9623811772$$
$$x_{41} = 41.727879241$$
$$x_{42} = 24.2455664844$$
$$x_{43} = -35.4446939338$$
$$x_{44} = -57.4358425089$$
$$x_{45} = 2.25441790927$$
$$x_{46} = -2.25441790927$$
$$x_{47} = 90.2190122098$$
$$x_{48} = 61.9446783275$$
$$x_{49} = -90.2190122098$$
$$x_{50} = -99.6437901706$$
$$x_{51} = 8.53760321645$$
$$x_{52} = 87.0774195562$$
$$x_{53} = 98.2765470056$$
$$x_{54} = 74.5110489418$$
$$x_{55} = -14.8207885236$$
$$x_{56} = -63.7190278161$$
$$x_{57} = -4.02876739791$$
$$x_{58} = 51.1526572018$$
$$x_{59} = -68.2278636347$$
$$x_{60} = 70.0022131233$$
$$x_{61} = 21.1039738308$$
$$x_{62} = 76.2853984305$$
$$x_{63} = -41.727879241$$
$$x_{64} = 26.019915973$$
$$x_{65} = 46.2367150595$$
$$x_{66} = 52.5199003667$$
$$x_{67} = 7.1703600515$$
$$x_{68} = 39.9535297523$$
$$x_{69} = 68.2278636347$$
$$x_{70} = 95.134954352$$
$$x_{71} = -55.6614930203$$
$$x_{72} = -36.8119370988$$
$$x_{73} = 60.5774351625$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[98.2765470056, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -99.6437901706]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} = \sin{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \sin{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} = \sin{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \sin{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(cos(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \tilde{\infty} x \sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \tilde{\infty} x \sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} = \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )}$$
- Да
$$\sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} = - \sin{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной