График функции y = sin(sqrt(x))

Вы ввели

          /  ___\
f(x) = sin\\/ x /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi^{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 39.4784176043574$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 799.437956488238$$
$$x_{4} = 9.86960440108936$$
$$x_{5} = 631.654681669719$$
$$x_{6} = 88.8264396098042$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(sqrt(x)).
$$\sin{\left(\sqrt{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

   2    
 pi     
(---, 1)
  4     

     2     
 9*pi      
(-----, -1)
   4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi^{2}}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi^{2}}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi^{2}}{4}, \frac{9 \pi^{2}}{4}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 7.83096446123798$$
$$x_{2} = 37.4697072784998$$
$$x_{3} = -1.43922883989065$$
$$x_{4} = 481.60992467799$$
$$x_{5} = 86.8226353997707$$
$$x_{6} = 155.911543364003$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[481.60992467799, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 7.83096446123798\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \sin{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = - \sin{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График