График функции y = sin(|x|)

Вы ввели

f(x) = sin(|x|)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -84.8230016469244$$
$$x_{2} = -12.5663706143592$$
$$x_{3} = 75.398223686155$$
$$x_{4} = -50.2654824574367$$
$$x_{5} = -97.3893722612836$$
$$x_{6} = 3.14159265358979$$
$$x_{7} = 15.707963267949$$
$$x_{8} = 59.6902604182061$$
$$x_{9} = 40.8407044966673$$
$$x_{10} = -62.8318530717959$$
$$x_{11} = -279.601746169492$$
$$x_{12} = 21.9911485751286$$
$$x_{13} = -53.4070751110265$$
$$x_{14} = -72.2566310325652$$
$$x_{15} = 9.42477796076938$$
$$x_{16} = 87.9645943005142$$
$$x_{17} = -91.106186954104$$
$$x_{18} = -100.530964914873$$
$$x_{19} = -34.5575191894877$$
$$x_{20} = -47.1238898038469$$
$$x_{21} = -87.9645943005142$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = -21.9911485751286$$
$$x_{24} = 37.6991118430775$$
$$x_{25} = -28.2743338823081$$
$$x_{26} = -232.477856365645$$
$$x_{27} = -6.28318530717959$$
$$x_{28} = 43.9822971502571$$
$$x_{29} = 91.106186954104$$
$$x_{30} = -2642.07942166902$$
$$x_{31} = -40.8407044966673$$
$$x_{32} = 94.2477796076938$$
$$x_{33} = -31.4159265358979$$
$$x_{34} = -69.1150383789755$$
$$x_{35} = 47.1238898038469$$
$$x_{36} = 62.8318530717959$$
$$x_{37} = -56.5486677646163$$
$$x_{38} = 18.8495559215388$$
$$x_{39} = -37.6991118430775$$
$$x_{40} = 56.5486677646163$$
$$x_{41} = 65.9734457253857$$
$$x_{42} = -59.6902604182061$$
$$x_{43} = -75.398223686155$$
$$x_{44} = -3.14159265358979$$
$$x_{45} = 81.6814089933346$$
$$x_{46} = -18.8495559215388$$
$$x_{47} = 31.4159265358979$$
$$x_{48} = -9.42477796076938$$
$$x_{49} = -15.707963267949$$
$$x_{50} = -43.9822971502571$$
$$x_{51} = -113.097335529233$$
$$x_{52} = 78.5398163397448$$
$$x_{53} = -78.5398163397448$$
$$x_{54} = -81.6814089933346$$
$$x_{55} = 84.8230016469244$$
$$x_{56} = 28.2743338823081$$
$$x_{57} = -25.1327412287183$$
$$x_{58} = -65.9734457253857$$
$$x_{59} = 97.3893722612836$$
$$x_{60} = 69.1150383789755$$
$$x_{61} = 50.2654824574367$$
$$x_{62} = 100.530964914873$$
$$x_{63} = 34.5575191894877$$
$$x_{64} = 6.28318530717959$$
$$x_{65} = 25.1327412287183$$
$$x_{66} = 53.4070751110265$$
$$x_{67} = -94.2477796076938$$
$$x_{68} = 12.5663706143592$$
$$x_{69} = 72.2566310325652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(|x|).
$$\sin{\left(\left|{0}\right| \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -58.1194640914112$$
$$x_{2} = 36.1283155162826$$
$$x_{3} = -64.4026493985908$$
$$x_{4} = -89.5353906273091$$
$$x_{5} = -76.9690200129499$$
$$x_{6} = 51.8362787842316$$
$$x_{7} = 67.5442420521806$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = -86.3937979737193$$
$$x_{10} = 32.9867228626928$$
$$x_{11} = 89.5353906273091$$
$$x_{12} = 64.4026493985908$$
$$x_{13} = 17.2787595947439$$
$$x_{14} = 70.6858347057703$$
$$x_{15} = -4.71238898038469$$
$$x_{16} = 23.5619449019235$$
$$x_{17} = 76.9690200129499$$
$$x_{18} = 0$$
$$x_{19} = 86.3937979737193$$
$$x_{20} = -61.261056745001$$
$$x_{21} = 48.6946861306418$$
$$x_{22} = 73.8274273593601$$
$$x_{23} = 29.845130209103$$
$$x_{24} = -70.6858347057703$$
$$x_{25} = -168.075206967054$$
$$x_{26} = -7.85398163397448$$
$$x_{27} = -14.1371669411541$$
$$x_{28} = -73.8274273593601$$
$$x_{29} = -32.9867228626928$$
$$x_{30} = 1.5707963267949$$
$$x_{31} = -98.9601685880785$$
$$x_{32} = -42.4115008234622$$
$$x_{33} = -17.2787595947439$$
$$x_{34} = 4.71238898038469$$
$$x_{35} = 26.7035375555132$$
$$x_{36} = 83.2522053201295$$
$$x_{37} = 92.6769832808989$$
$$x_{38} = -19812.454069864$$
$$x_{39} = -51.8362787842316$$
$$x_{40} = 54.9778714378214$$
$$x_{41} = -20.4203522483337$$
$$x_{42} = 61.261056745001$$
$$x_{43} = 80.1106126665397$$
$$x_{44} = -92.6769832808989$$
$$x_{45} = -83.2522053201295$$
$$x_{46} = 98.9601685880785$$
$$x_{47} = 7.85398163397448$$
$$x_{48} = 42.4115008234622$$
$$x_{49} = -95.8185759344887$$
$$x_{50} = -1.5707963267949$$
$$x_{51} = -29.845130209103$$
$$x_{52} = -39.2699081698724$$
$$x_{53} = -23.5619449019235$$
$$x_{54} = 20.4203522483337$$
$$x_{55} = -54.9778714378214$$
$$x_{56} = 58.1194640914112$$
$$x_{57} = -48.6946861306418$$
$$x_{58} = -36.1283155162826$$
$$x_{59} = 95.8185759344887$$
$$x_{60} = 10.9955742875643$$
$$x_{61} = 39.2699081698724$$
$$x_{62} = -80.1106126665397$$
$$x_{63} = 45.553093477052$$
$$x_{64} = -26.7035375555132$$
$$x_{65} = -45.553093477052$$
$$x_{66} = 14.1371669411541$$
$$x_{67} = -67.5442420521806$$
$$x_{68} = -271.747764535517$$
Зн. экстремумы в точках:

(-58.1194640914112, 1)

(36.1283155162826, -1)

(-64.4026493985908, 1)

(-89.5353906273091, 1)

(-76.9690200129499, 1)

(51.8362787842316, 1)

(67.5442420521806, -1)

(-10.9955742875643, -1)

(-86.3937979737193, -1)

(32.9867228626928, 1)

(89.5353906273091, 1)

(64.4026493985908, 1)

(17.2787595947439, -1)

(70.6858347057703, 1)

(-4.71238898038469, -1)

(23.5619449019235, -1)

(76.9690200129499, 1)

(0, 0)

(86.3937979737193, -1)

(-61.261056745001, -1)

(48.6946861306418, -1)

(73.8274273593601, -1)

(29.845130209103, -1)

(-70.6858347057703, 1)

(-168.075206967054, -1)

(-7.85398163397448, 1)

(-14.1371669411541, 1)

(-73.8274273593601, -1)

(-32.9867228626928, 1)

(1.5707963267949, 1)

(-98.9601685880785, -1)

(-42.4115008234622, -1)

(-17.2787595947439, -1)

(4.71238898038469, -1)

(26.7035375555132, 1)

(83.2522053201295, 1)

(92.6769832808989, -1)

(-19812.454069864, 1)

(-51.8362787842316, 1)

(54.9778714378214, -1)

(-20.4203522483337, 1)

(61.261056745001, -1)

(80.1106126665397, -1)

(-92.6769832808989, -1)

(-83.2522053201295, 1)

(98.9601685880785, -1)

(7.85398163397448, 1)

(42.4115008234622, -1)

(-95.8185759344887, 1)

(-1.5707963267949, 1)

(-29.845130209103, -1)

(-39.2699081698724, 1)

(-23.5619449019235, -1)

(20.4203522483337, 1)

(-54.9778714378214, -1)

(58.1194640914112, 1)

(-48.6946861306418, -1)

(-36.1283155162826, -1)

(95.8185759344887, 1)

(10.9955742875643, -1)

(39.2699081698724, 1)

(-80.1106126665397, -1)

(45.553093477052, 1)

(-26.7035375555132, 1)

(-45.553093477052, 1)

(14.1371669411541, 1)

(-67.5442420521806, -1)

(-271.747764535517, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 36.1283155162826$$
$$x_{2} = 67.5442420521806$$
$$x_{3} = -10.9955742875643$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 17.2787595947439$$
$$x_{6} = -4.71238898038469$$
$$x_{7} = 23.5619449019235$$
$$x_{8} = 0$$
$$x_{9} = 86.3937979737193$$
$$x_{10} = -61.261056745001$$
$$x_{11} = 48.6946861306418$$
$$x_{12} = 73.8274273593601$$
$$x_{13} = 29.845130209103$$
$$x_{14} = -168.075206967054$$
$$x_{15} = -73.8274273593601$$
$$x_{16} = -98.9601685880785$$
$$x_{17} = -42.4115008234622$$
$$x_{18} = -17.2787595947439$$
$$x_{19} = 4.71238898038469$$
$$x_{20} = 92.6769832808989$$
$$x_{21} = 54.9778714378214$$
$$x_{22} = 61.261056745001$$
$$x_{23} = 80.1106126665397$$
$$x_{24} = -92.6769832808989$$
$$x_{25} = 98.9601685880785$$
$$x_{26} = 42.4115008234622$$
$$x_{27} = -29.845130209103$$
$$x_{28} = -23.5619449019235$$
$$x_{29} = -54.9778714378214$$
$$x_{30} = -48.6946861306418$$
$$x_{31} = -36.1283155162826$$
$$x_{32} = 10.9955742875643$$
$$x_{33} = -80.1106126665397$$
$$x_{34} = -67.5442420521806$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{34} = -58.1194640914112$$
$$x_{34} = -64.4026493985908$$
$$x_{34} = -89.5353906273091$$
$$x_{34} = -76.9690200129499$$
$$x_{34} = 51.8362787842316$$
$$x_{34} = 32.9867228626928$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{34} = 64.4026493985908$$
$$x_{34} = 70.6858347057703$$
$$x_{34} = 76.9690200129499$$
$$x_{34} = -70.6858347057703$$
$$x_{34} = -7.85398163397448$$
$$x_{34} = -14.1371669411541$$
$$x_{34} = -32.9867228626928$$
$$x_{34} = 1.5707963267949$$
$$x_{34} = 26.7035375555132$$
$$x_{34} = 83.2522053201295$$
$$x_{34} = -19812.454069864$$
$$x_{34} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = -20.4203522483337$$
$$x_{34} = -83.2522053201295$$
$$x_{34} = 7.85398163397448$$
$$x_{34} = -95.8185759344887$$
$$x_{34} = -1.5707963267949$$
$$x_{34} = -39.2699081698724$$
$$x_{34} = 20.4203522483337$$
$$x_{34} = 58.1194640914112$$
$$x_{34} = 95.8185759344887$$
$$x_{34} = 39.2699081698724$$
$$x_{34} = 45.553093477052$$
$$x_{34} = -26.7035375555132$$
$$x_{34} = -45.553093477052$$
$$x_{34} = 14.1371669411541$$
$$x_{34} = -271.747764535517$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9601685880785, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -168.075206967054\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Да
$$\sin{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График