Графики функций/ Построение в 2D/ y = sin((|x|))

График функции y = sin((|x|))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = sin(|x|)
f(x)=sin⁡(∣x∣)f{\left (x \right )} = \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}
График функции
0-200000-150000-100000-50000500001000001500002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin⁡(∣x∣)=0\sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=−94.2477796077x_{1} = -94.2477796077
x2=31.4159265359x_{2} = 31.4159265359
x3=81.6814089933x_{3} = 81.6814089933
x4=84.8230016469x_{4} = 84.8230016469
x5=−53.407075111x_{5} = -53.407075111
x6=65.9734457254x_{6} = 65.9734457254
x7=3.14159265359x_{7} = 3.14159265359
x8=15.7079632679x_{8} = 15.7079632679
x9=100.530964915x_{9} = 100.530964915
x10=50.2654824574x_{10} = 50.2654824574
x11=−3.14159265359x_{11} = -3.14159265359
x12=40.8407044967x_{12} = 40.8407044967
x13=−59.6902604182x_{13} = -59.6902604182
x14=97.3893722613x_{14} = 97.3893722613
x15=78.5398163397x_{15} = 78.5398163397
x16=−25.1327412287x_{16} = -25.1327412287
x17=−43.9822971503x_{17} = -43.9822971503
x18=25.1327412287x_{18} = 25.1327412287
x19=−81.6814089933x_{19} = -81.6814089933
x20=−91.1061869541x_{20} = -91.1061869541
x21=87.9645943005x_{21} = 87.9645943005
x22=69.115038379x_{22} = 69.115038379
x23=−34.5575191895x_{23} = -34.5575191895
x24=28.2743338823x_{24} = 28.2743338823
x25=−31.4159265359x_{25} = -31.4159265359
x26=37.6991118431x_{26} = 37.6991118431
x27=−28.2743338823x_{27} = -28.2743338823
x28=72.2566310326x_{28} = 72.2566310326
x29=56.5486677646x_{29} = 56.5486677646
x30=−75.3982236862x_{30} = -75.3982236862
x31=−69.115038379x_{31} = -69.115038379
x32=−6.28318530718x_{32} = -6.28318530718
x33=−9.42477796077x_{33} = -9.42477796077
x34=6.28318530718x_{34} = 6.28318530718
x35=75.3982236862x_{35} = 75.3982236862
x36=−65.9734457254x_{36} = -65.9734457254
x37=−87.9645943005x_{37} = -87.9645943005
x38=−72.2566310326x_{38} = -72.2566310326
x39=18.8495559215x_{39} = 18.8495559215
x40=−84.8230016469x_{40} = -84.8230016469
x41=9.42477796077x_{41} = 9.42477796077
x42=−50.2654824574x_{42} = -50.2654824574
x43=−56.5486677646x_{43} = -56.5486677646
x44=−232.477856366x_{44} = -232.477856366
x45=−279.601746169x_{45} = -279.601746169
x46=−2642.07942167x_{46} = -2642.07942167
x47=91.1061869541x_{47} = 91.1061869541
x48=59.6902604182x_{48} = 59.6902604182
x49=−47.1238898038x_{49} = -47.1238898038
x50=12.5663706144x_{50} = 12.5663706144
x51=−62.8318530718x_{51} = -62.8318530718
x52=62.8318530718x_{52} = 62.8318530718
x53=−18.8495559215x_{53} = -18.8495559215
x54=−12.5663706144x_{54} = -12.5663706144
x55=−37.6991118431x_{55} = -37.6991118431
x56=−97.3893722613x_{56} = -97.3893722613
x57=94.2477796077x_{57} = 94.2477796077
x58=34.5575191895x_{58} = 34.5575191895
x59=−21.9911485751x_{59} = -21.9911485751
x60=21.9911485751x_{60} = 21.9911485751
x61=−100.530964915x_{61} = -100.530964915
x62=53.407075111x_{62} = 53.407075111
x63=−113.097335529x_{63} = -113.097335529
x64=−78.5398163397x_{64} = -78.5398163397
x65=0x_{65} = 0
x66=43.9822971503x_{66} = 43.9822971503
x67=−40.8407044967x_{67} = -40.8407044967
x68=−15.7079632679x_{68} = -15.7079632679
x69=47.1238898038x_{69} = 47.1238898038
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(|x|).
sin⁡(∣0∣)\sin{\left (\left|{0}\right| \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
cos⁡(∣x∣)sign⁡(x)=0\cos{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−54.9778714378x_{1} = -54.9778714378
x2=39.2699081699x_{2} = 39.2699081699
x3=−19812.4540699x_{3} = -19812.4540699
x4=51.8362787842x_{4} = 51.8362787842
x5=86.3937979737x_{5} = 86.3937979737
x6=−17.2787595947x_{6} = -17.2787595947
x7=45.5530934771x_{7} = 45.5530934771
x8=61.261056745x_{8} = 61.261056745
x9=83.2522053201x_{9} = 83.2522053201
x10=−70.6858347058x_{10} = -70.6858347058
x11=−89.5353906273x_{11} = -89.5353906273
x12=92.6769832809x_{12} = 92.6769832809
x13=76.9690200129x_{13} = 76.9690200129
x14=−32.9867228627x_{14} = -32.9867228627
x15=−4.71238898038x_{15} = -4.71238898038
x16=−48.6946861306x_{16} = -48.6946861306
x17=−80.1106126665x_{17} = -80.1106126665
x18=−42.4115008235x_{18} = -42.4115008235
x19=−58.1194640914x_{19} = -58.1194640914
x20=1.57079632679x_{20} = 1.57079632679
x21=−95.8185759345x_{21} = -95.8185759345
x22=17.2787595947x_{22} = 17.2787595947
x23=95.8185759345x_{23} = 95.8185759345
x24=−36.1283155163x_{24} = -36.1283155163
x25=−64.4026493986x_{25} = -64.4026493986
x26=36.1283155163x_{26} = 36.1283155163
x27=−61.261056745x_{27} = -61.261056745
x28=−92.6769832809x_{28} = -92.6769832809
x29=32.9867228627x_{29} = 32.9867228627
x30=−14.1371669412x_{30} = -14.1371669412
x31=80.1106126665x_{31} = 80.1106126665
x32=4.71238898038x_{32} = 4.71238898038
x33=10.9955742876x_{33} = 10.9955742876
x34=7.85398163397x_{34} = 7.85398163397
x35=23.5619449019x_{35} = 23.5619449019
x36=−39.2699081699x_{36} = -39.2699081699
x37=64.4026493986x_{37} = 64.4026493986
x38=−73.8274273594x_{38} = -73.8274273594
x39=20.4203522483x_{39} = 20.4203522483
x40=−26.7035375555x_{40} = -26.7035375555
x41=−83.2522053201x_{41} = -83.2522053201
x42=−98.9601685881x_{42} = -98.9601685881
x43=48.6946861306x_{43} = 48.6946861306
x44=29.8451302091x_{44} = 29.8451302091
x45=14.1371669412x_{45} = 14.1371669412
x46=98.9601685881x_{46} = 98.9601685881
x47=−45.5530934771x_{47} = -45.5530934771
x48=−51.8362787842x_{48} = -51.8362787842
x49=−67.5442420522x_{49} = -67.5442420522
x50=−271.747764536x_{50} = -271.747764536
x51=54.9778714378x_{51} = 54.9778714378
x52=26.7035375555x_{52} = 26.7035375555
x53=−86.3937979737x_{53} = -86.3937979737
x54=−20.4203522483x_{54} = -20.4203522483
x55=−168.075206967x_{55} = -168.075206967
x56=−76.9690200129x_{56} = -76.9690200129
x57=89.5353906273x_{57} = 89.5353906273
x58=−10.9955742876x_{58} = -10.9955742876
x59=−7.85398163397x_{59} = -7.85398163397
x60=−1.57079632679x_{60} = -1.57079632679
x61=−23.5619449019x_{61} = -23.5619449019
x62=73.8274273594x_{62} = 73.8274273594
x63=70.6858347058x_{63} = 70.6858347058
x64=0x_{64} = 0
x65=42.4115008235x_{65} = 42.4115008235
x66=67.5442420522x_{66} = 67.5442420522
x67=58.1194640914x_{67} = 58.1194640914
x68=−29.8451302091x_{68} = -29.8451302091
Зн. экстремумы в точках:
(-54.9778714378, -1)

(39.2699081699, 1)

(-19812.4540699, 0.999999999999999)

(51.8362787842, 1)

(86.3937979737, -1)

(-17.2787595947, -1)

(45.5530934771, 1)

(61.261056745, -1)

(83.2522053201, 1)

(-70.6858347058, 1)

(-89.5353906273, 1)

(92.6769832809, -1)

(76.9690200129, 1)

(-32.9867228627, 1)

(-4.71238898038, -1)

(-48.6946861306, -1)

(-80.1106126665, -1)

(-42.4115008235, -1)

(-58.1194640914, 1)

(1.57079632679, 1)

(-95.8185759345, 1)

(17.2787595947, -1)

(95.8185759345, 1)

(-36.1283155163, -1)

(-64.4026493986, 1)

(36.1283155163, -1)

(-61.261056745, -1)

(-92.6769832809, -1)

(32.9867228627, 1)

(-14.1371669412, 1)

(80.1106126665, -1)

(4.71238898038, -1)

(10.9955742876, -1)

(7.85398163397, 1)

(23.5619449019, -1)

(-39.2699081699, 1)

(64.4026493986, 1)

(-73.8274273594, -1)

(20.4203522483, 1)

(-26.7035375555, 1)

(-83.2522053201, 1)

(-98.9601685881, -1)

(48.6946861306, -1)

(29.8451302091, -1)

(14.1371669412, 1)

(98.9601685881, -1)

(-45.5530934771, 1)

(-51.8362787842, 1)

(-67.5442420522, -1)

(-271.747764536, 1)

(54.9778714378, -1)

(26.7035375555, 1)

(-86.3937979737, -1)

(-20.4203522483, 1)

(-168.075206967, -1)

(-76.9690200129, 1)

(89.5353906273, 1)

(-10.9955742876, -1)

(-7.85398163397, 1)

(-1.57079632679, 1)

(-23.5619449019, -1)

(73.8274273594, -1)

(70.6858347058, 1)

(0, 0)

(42.4115008235, -1)

(67.5442420522, -1)

(58.1194640914, 1)

(-29.8451302091, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x68=−54.9778714378x_{68} = -54.9778714378
x68=86.3937979737x_{68} = 86.3937979737
x68=−17.2787595947x_{68} = -17.2787595947
x68=61.261056745x_{68} = 61.261056745
x68=92.6769832809x_{68} = 92.6769832809
x68=−4.71238898038x_{68} = -4.71238898038
x68=−48.6946861306x_{68} = -48.6946861306
x68=−80.1106126665x_{68} = -80.1106126665
x68=−42.4115008235x_{68} = -42.4115008235
x68=17.2787595947x_{68} = 17.2787595947
x68=−36.1283155163x_{68} = -36.1283155163
x68=36.1283155163x_{68} = 36.1283155163
x68=−61.261056745x_{68} = -61.261056745
x68=−92.6769832809x_{68} = -92.6769832809
x68=80.1106126665x_{68} = 80.1106126665
x68=4.71238898038x_{68} = 4.71238898038
x68=10.9955742876x_{68} = 10.9955742876
x68=23.5619449019x_{68} = 23.5619449019
x68=−73.8274273594x_{68} = -73.8274273594
x68=−98.9601685881x_{68} = -98.9601685881
x68=48.6946861306x_{68} = 48.6946861306
x68=29.8451302091x_{68} = 29.8451302091
x68=98.9601685881x_{68} = 98.9601685881
x68=−67.5442420522x_{68} = -67.5442420522
x68=54.9778714378x_{68} = 54.9778714378
x68=−86.3937979737x_{68} = -86.3937979737
x68=−168.075206967x_{68} = -168.075206967
x68=−10.9955742876x_{68} = -10.9955742876
x68=−23.5619449019x_{68} = -23.5619449019
x68=73.8274273594x_{68} = 73.8274273594
x68=0x_{68} = 0
x68=42.4115008235x_{68} = 42.4115008235
x68=67.5442420522x_{68} = 67.5442420522
x68=−29.8451302091x_{68} = -29.8451302091
Максимумы функции в точках:
x68=39.2699081699x_{68} = 39.2699081699
x68=−19812.4540699x_{68} = -19812.4540699
x68=51.8362787842x_{68} = 51.8362787842
x68=45.5530934771x_{68} = 45.5530934771
x68=83.2522053201x_{68} = 83.2522053201
x68=−70.6858347058x_{68} = -70.6858347058
x68=−89.5353906273x_{68} = -89.5353906273
x68=76.9690200129x_{68} = 76.9690200129
x68=−32.9867228627x_{68} = -32.9867228627
x68=−58.1194640914x_{68} = -58.1194640914
x68=1.57079632679x_{68} = 1.57079632679
x68=−95.8185759345x_{68} = -95.8185759345
x68=95.8185759345x_{68} = 95.8185759345
x68=−64.4026493986x_{68} = -64.4026493986
x68=32.9867228627x_{68} = 32.9867228627
x68=−14.1371669412x_{68} = -14.1371669412
x68=7.85398163397x_{68} = 7.85398163397
x68=−39.2699081699x_{68} = -39.2699081699
x68=64.4026493986x_{68} = 64.4026493986
x68=20.4203522483x_{68} = 20.4203522483
x68=−26.7035375555x_{68} = -26.7035375555
x68=−83.2522053201x_{68} = -83.2522053201
x68=14.1371669412x_{68} = 14.1371669412
x68=−45.5530934771x_{68} = -45.5530934771
x68=−51.8362787842x_{68} = -51.8362787842
x68=−271.747764536x_{68} = -271.747764536
x68=26.7035375555x_{68} = 26.7035375555
x68=−20.4203522483x_{68} = -20.4203522483
x68=−76.9690200129x_{68} = -76.9690200129
x68=89.5353906273x_{68} = 89.5353906273
x68=−7.85398163397x_{68} = -7.85398163397
x68=−1.57079632679x_{68} = -1.57079632679
x68=70.6858347058x_{68} = 70.6858347058
x68=58.1194640914x_{68} = 58.1194640914
Убывает на промежутках
[98.9601685881, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -168.075206967]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
−sin⁡(∣x∣)sign⁡2(x)+2cos⁡(∣x∣)δ(x)=0- \sin{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (\left|{x}\right| \right )} \delta\left(x\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[pi, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, pi]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(∣x∣)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩y = \langle -1, 1\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(∣x∣)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−1,1⟩y = \langle -1, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xsin⁡(∣x∣))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1xsin⁡(∣x∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin⁡(∣x∣)=sin⁡(∣x∣)\sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}
- Да
sin⁡(∣x∣)=−sin⁡(∣x∣)\sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = - \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной