График функции y = sin((|x|))

Вы ввели

f(x) = sin(|x|)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 65.9734457254$$
$$x_{7} = 3.14159265359$$
$$x_{8} = 15.7079632679$$
$$x_{9} = 100.530964915$$
$$x_{10} = 50.2654824574$$
$$x_{11} = -3.14159265359$$
$$x_{12} = 40.8407044967$$
$$x_{13} = -59.6902604182$$
$$x_{14} = 97.3893722613$$
$$x_{15} = 78.5398163397$$
$$x_{16} = -25.1327412287$$
$$x_{17} = -43.9822971503$$
$$x_{18} = 25.1327412287$$
$$x_{19} = -81.6814089933$$
$$x_{20} = -91.1061869541$$
$$x_{21} = 87.9645943005$$
$$x_{22} = 69.115038379$$
$$x_{23} = -34.5575191895$$
$$x_{24} = 28.2743338823$$
$$x_{25} = -31.4159265359$$
$$x_{26} = 37.6991118431$$
$$x_{27} = -28.2743338823$$
$$x_{28} = 72.2566310326$$
$$x_{29} = 56.5486677646$$
$$x_{30} = -75.3982236862$$
$$x_{31} = -69.115038379$$
$$x_{32} = -6.28318530718$$
$$x_{33} = -9.42477796077$$
$$x_{34} = 6.28318530718$$
$$x_{35} = 75.3982236862$$
$$x_{36} = -65.9734457254$$
$$x_{37} = -87.9645943005$$
$$x_{38} = -72.2566310326$$
$$x_{39} = 18.8495559215$$
$$x_{40} = -84.8230016469$$
$$x_{41} = 9.42477796077$$
$$x_{42} = -50.2654824574$$
$$x_{43} = -56.5486677646$$
$$x_{44} = -232.477856366$$
$$x_{45} = -279.601746169$$
$$x_{46} = -2642.07942167$$
$$x_{47} = 91.1061869541$$
$$x_{48} = 59.6902604182$$
$$x_{49} = -47.1238898038$$
$$x_{50} = 12.5663706144$$
$$x_{51} = -62.8318530718$$
$$x_{52} = 62.8318530718$$
$$x_{53} = -18.8495559215$$
$$x_{54} = -12.5663706144$$
$$x_{55} = -37.6991118431$$
$$x_{56} = -97.3893722613$$
$$x_{57} = 94.2477796077$$
$$x_{58} = 34.5575191895$$
$$x_{59} = -21.9911485751$$
$$x_{60} = 21.9911485751$$
$$x_{61} = -100.530964915$$
$$x_{62} = 53.407075111$$
$$x_{63} = -113.097335529$$
$$x_{64} = -78.5398163397$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{66} = 43.9822971503$$
$$x_{67} = -40.8407044967$$
$$x_{68} = -15.7079632679$$
$$x_{69} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(|x|).
$$\sin{\left (\left|{0}\right| \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\cos{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = -19812.4540699$$
$$x_{4} = 51.8362787842$$
$$x_{5} = 86.3937979737$$
$$x_{6} = -17.2787595947$$
$$x_{7} = 45.5530934771$$
$$x_{8} = 61.261056745$$
$$x_{9} = 83.2522053201$$
$$x_{10} = -70.6858347058$$
$$x_{11} = -89.5353906273$$
$$x_{12} = 92.6769832809$$
$$x_{13} = 76.9690200129$$
$$x_{14} = -32.9867228627$$
$$x_{15} = -4.71238898038$$
$$x_{16} = -48.6946861306$$
$$x_{17} = -80.1106126665$$
$$x_{18} = -42.4115008235$$
$$x_{19} = -58.1194640914$$
$$x_{20} = 1.57079632679$$
$$x_{21} = -95.8185759345$$
$$x_{22} = 17.2787595947$$
$$x_{23} = 95.8185759345$$
$$x_{24} = -36.1283155163$$
$$x_{25} = -64.4026493986$$
$$x_{26} = 36.1283155163$$
$$x_{27} = -61.261056745$$
$$x_{28} = -92.6769832809$$
$$x_{29} = 32.9867228627$$
$$x_{30} = -14.1371669412$$
$$x_{31} = 80.1106126665$$
$$x_{32} = 4.71238898038$$
$$x_{33} = 10.9955742876$$
$$x_{34} = 7.85398163397$$
$$x_{35} = 23.5619449019$$
$$x_{36} = -39.2699081699$$
$$x_{37} = 64.4026493986$$
$$x_{38} = -73.8274273594$$
$$x_{39} = 20.4203522483$$
$$x_{40} = -26.7035375555$$
$$x_{41} = -83.2522053201$$
$$x_{42} = -98.9601685881$$
$$x_{43} = 48.6946861306$$
$$x_{44} = 29.8451302091$$
$$x_{45} = 14.1371669412$$
$$x_{46} = 98.9601685881$$
$$x_{47} = -45.5530934771$$
$$x_{48} = -51.8362787842$$
$$x_{49} = -67.5442420522$$
$$x_{50} = -271.747764536$$
$$x_{51} = 54.9778714378$$
$$x_{52} = 26.7035375555$$
$$x_{53} = -86.3937979737$$
$$x_{54} = -20.4203522483$$
$$x_{55} = -168.075206967$$
$$x_{56} = -76.9690200129$$
$$x_{57} = 89.5353906273$$
$$x_{58} = -10.9955742876$$
$$x_{59} = -7.85398163397$$
$$x_{60} = -1.57079632679$$
$$x_{61} = -23.5619449019$$
$$x_{62} = 73.8274273594$$
$$x_{63} = 70.6858347058$$
$$x_{64} = 0$$
$$x_{65} = 42.4115008235$$
$$x_{66} = 67.5442420522$$
$$x_{67} = 58.1194640914$$
$$x_{68} = -29.8451302091$$
Зн. экстремумы в точках:

(-54.9778714378, -1)

(39.2699081699, 1)

(-19812.4540699, 0.999999999999999)

(51.8362787842, 1)

(86.3937979737, -1)

(-17.2787595947, -1)

(45.5530934771, 1)

(61.261056745, -1)

(83.2522053201, 1)

(-70.6858347058, 1)

(-89.5353906273, 1)

(92.6769832809, -1)

(76.9690200129, 1)

(-32.9867228627, 1)

(-4.71238898038, -1)

(-48.6946861306, -1)

(-80.1106126665, -1)

(-42.4115008235, -1)

(-58.1194640914, 1)

(1.57079632679, 1)

(-95.8185759345, 1)

(17.2787595947, -1)

(95.8185759345, 1)

(-36.1283155163, -1)

(-64.4026493986, 1)

(36.1283155163, -1)

(-61.261056745, -1)

(-92.6769832809, -1)

(32.9867228627, 1)

(-14.1371669412, 1)

(80.1106126665, -1)

(4.71238898038, -1)

(10.9955742876, -1)

(7.85398163397, 1)

(23.5619449019, -1)

(-39.2699081699, 1)

(64.4026493986, 1)

(-73.8274273594, -1)

(20.4203522483, 1)

(-26.7035375555, 1)

(-83.2522053201, 1)

(-98.9601685881, -1)

(48.6946861306, -1)

(29.8451302091, -1)

(14.1371669412, 1)

(98.9601685881, -1)

(-45.5530934771, 1)

(-51.8362787842, 1)

(-67.5442420522, -1)

(-271.747764536, 1)

(54.9778714378, -1)

(26.7035375555, 1)

(-86.3937979737, -1)

(-20.4203522483, 1)

(-168.075206967, -1)

(-76.9690200129, 1)

(89.5353906273, 1)

(-10.9955742876, -1)

(-7.85398163397, 1)

(-1.57079632679, 1)

(-23.5619449019, -1)

(73.8274273594, -1)

(70.6858347058, 1)

(0, 0)

(42.4115008235, -1)

(67.5442420522, -1)

(58.1194640914, 1)

(-29.8451302091, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{68} = -54.9778714378$$
$$x_{68} = 86.3937979737$$
$$x_{68} = -17.2787595947$$
$$x_{68} = 61.261056745$$
$$x_{68} = 92.6769832809$$
$$x_{68} = -4.71238898038$$
$$x_{68} = -48.6946861306$$
$$x_{68} = -80.1106126665$$
$$x_{68} = -42.4115008235$$
$$x_{68} = 17.2787595947$$
$$x_{68} = -36.1283155163$$
$$x_{68} = 36.1283155163$$
$$x_{68} = -61.261056745$$
$$x_{68} = -92.6769832809$$
$$x_{68} = 80.1106126665$$
$$x_{68} = 4.71238898038$$
$$x_{68} = 10.9955742876$$
$$x_{68} = 23.5619449019$$
$$x_{68} = -73.8274273594$$
$$x_{68} = -98.9601685881$$
$$x_{68} = 48.6946861306$$
$$x_{68} = 29.8451302091$$
$$x_{68} = 98.9601685881$$
$$x_{68} = -67.5442420522$$
$$x_{68} = 54.9778714378$$
$$x_{68} = -86.3937979737$$
$$x_{68} = -168.075206967$$
$$x_{68} = -10.9955742876$$
$$x_{68} = -23.5619449019$$
$$x_{68} = 73.8274273594$$
$$x_{68} = 0$$
$$x_{68} = 42.4115008235$$
$$x_{68} = 67.5442420522$$
$$x_{68} = -29.8451302091$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{68} = 39.2699081699$$
$$x_{68} = -19812.4540699$$
$$x_{68} = 51.8362787842$$
$$x_{68} = 45.5530934771$$
$$x_{68} = 83.2522053201$$
$$x_{68} = -70.6858347058$$
$$x_{68} = -89.5353906273$$
$$x_{68} = 76.9690200129$$
$$x_{68} = -32.9867228627$$
$$x_{68} = -58.1194640914$$
$$x_{68} = 1.57079632679$$
$$x_{68} = -95.8185759345$$
$$x_{68} = 95.8185759345$$
$$x_{68} = -64.4026493986$$
$$x_{68} = 32.9867228627$$
$$x_{68} = -14.1371669412$$
$$x_{68} = 7.85398163397$$
$$x_{68} = -39.2699081699$$
$$x_{68} = 64.4026493986$$
$$x_{68} = 20.4203522483$$
$$x_{68} = -26.7035375555$$
$$x_{68} = -83.2522053201$$
$$x_{68} = 14.1371669412$$
$$x_{68} = -45.5530934771$$
$$x_{68} = -51.8362787842$$
$$x_{68} = -271.747764536$$
$$x_{68} = 26.7035375555$$
$$x_{68} = -20.4203522483$$
$$x_{68} = -76.9690200129$$
$$x_{68} = 89.5353906273$$
$$x_{68} = -7.85398163397$$
$$x_{68} = -1.57079632679$$
$$x_{68} = 70.6858347058$$
$$x_{68} = 58.1194640914$$
Убывает на промежутках

[98.9601685881, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -168.075206967]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (\left|{x}\right| \right )} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (\left|{x}\right| \right )} \delta\left(x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}$$
- Да
$$\sin{\left (\left|{x}\right| \right )} = - \sin{\left (\left|{x}\right| \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной