График функции y = sin((1)/((|x|)-2))

Вы ввели

          /     1   \
f(x) = sin|1*-------|
          \  |x| - 2/

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 - \frac{1}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.31830988618379$$
$$x_{2} = 2.31830988618379$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(1/(|x| - 1*2)).
$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(-1\right) 2 + \left|{0}\right|} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Точка:

(0, -sin(1/2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -sin(1/2))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- 2 \cos{\left(\frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} \delta\left(x\right) + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| - 2} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(1/(|x| - 1*2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)}$$
- Да
$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)} = - \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{\left|{x}\right| - 2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График