График функции y = sin(5*x)

Вы ввели

f(x) = sin(5*x)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = 16.3362817986669$$
$$x_{2} = 5.65486677646163$$
$$x_{3} = -32.0442450666159$$
$$x_{4} = 60.318578948924$$
$$x_{5} = 84.1946831162065$$
$$x_{6} = 11.3097335529233$$
$$x_{7} = -91.734505484822$$
$$x_{8} = 50.2654824574367$$
$$x_{9} = 42.0973415581032$$
$$x_{10} = -47.7522083345649$$
$$x_{11} = 45.867252742411$$
$$x_{12} = -79.7964534011807$$
$$x_{13} = -35.8141562509236$$
$$x_{14} = 92.3628240155399$$
$$x_{15} = 10.0530964914873$$
$$x_{16} = -57.8053048260522$$
$$x_{17} = -99.9026463841554$$
$$x_{18} = 30.159289474462$$
$$x_{19} = 38.3274303737955$$
$$x_{20} = 33.9292006587698$$
$$x_{21} = -65.9734457253857$$
$$x_{22} = -93.6194610769758$$
$$x_{23} = 48.3805268652828$$
$$x_{24} = 87.9645943005142$$
$$x_{25} = -5.65486677646163$$
$$x_{26} = -37.6991118430775$$
$$x_{27} = 55.9203492338983$$
$$x_{28} = -21.9911485751286$$
$$x_{29} = 96.1327351998477$$
$$x_{30} = 64.0884901332318$$
$$x_{31} = -49.6371639267187$$
$$x_{32} = -71.6283125018473$$
$$x_{33} = -67.8584013175395$$
$$x_{34} = 62.2035345410779$$
$$x_{35} = -86.0796387083603$$
$$x_{36} = 8.16814089933346$$
$$x_{37} = -96.1327351998477$$
$$x_{38} = 28.2743338823081$$
$$x_{39} = -76.026542216873$$
$$x_{40} = -52.7787565803085$$
$$x_{41} = -55.9203492338983$$
$$x_{42} = -15.707963267949$$
$$x_{43} = 67.8584013175395$$
$$x_{44} = 26.3893782901543$$
$$x_{45} = -98.0176907920015$$
$$x_{46} = 40.2123859659494$$
$$x_{47} = 65.9734457253857$$
$$x_{48} = -27.6460153515902$$
$$x_{49} = 89.2212313619501$$
$$x_{50} = -54.0353936417444$$
$$x_{51} = -11.9380520836412$$
$$x_{52} = 18.2212373908208$$
$$x_{53} = 98.0176907920015$$
$$x_{54} = -89.8495498926681$$
$$x_{55} = -20.1061929829747$$
$$x_{56} = 1.88495559215388$$
$$x_{57} = -77.9114978090269$$
$$x_{58} = 74.1415866247191$$
$$x_{59} = 72.2566310325652$$
$$x_{60} = 23.8761041672824$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = 76.026542216873$$
$$x_{63} = -74.1415866247191$$
$$x_{64} = 43.9822971502571$$
$$x_{65} = 21.9911485751286$$
$$x_{66} = 70.3716754404114$$
$$x_{67} = 54.0353936417444$$
$$x_{68} = -43.9822971502571$$
$$x_{69} = 189.752196276824$$
$$x_{70} = -25.7610597594363$$
$$x_{71} = 99.9026463841554$$
$$x_{72} = -33.9292006587698$$
$$x_{73} = 6.28318530717959$$
$$x_{74} = 52.7787565803085$$
$$x_{75} = -69.7433569096934$$
$$x_{76} = 11.9380520836412$$
$$x_{77} = 32.0442450666159$$
$$x_{78} = -42.0973415581032$$
$$x_{79} = 101.159283445591$$
$$x_{80} = -59.6902604182061$$
$$x_{81} = -3.76991118430775$$
$$x_{82} = 20.1061929829747$$
$$x_{83} = 77.9114978090269$$
$$x_{84} = -64.0884901332318$$
$$x_{85} = -45.867252742411$$
$$x_{86} = 82.3097275240526$$
$$x_{87} = 52.1504380495906$$
$$x_{88} = -1.88495559215388$$
$$x_{89} = -13.8230076757951$$
$$x_{90} = -10.0530964914873$$
$$x_{91} = -87.9645943005142$$
$$x_{92} = 86.0796387083603$$
$$x_{93} = 5.02654824574367$$
$$x_{94} = 94.2477796076938$$
$$x_{95} = -81.6814089933346$$
$$x_{96} = -23.8761041672824$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(5*x).
$$\sin{\left(5 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 \cos{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 10    

 3*pi     
(----, -1)
  10      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{10}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{10}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{10}, \frac{3 \pi}{10}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 25 \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{5}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{5}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(5 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(5 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(5 x \right)} = - \sin{\left(5 x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(5 x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График