График функции y = sin(5*x)^(7)

Вы ввели

          7     
f(x) = sin (5*x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{7}{\left (5 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{7}{\left (5 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = 96.1345211261$$
$$x_{2} = 20.102876509$$
$$x_{3} = -89.8459585392$$
$$x_{4} = 30.1628682101$$
$$x_{5} = -33.9324822674$$
$$x_{6} = 59.0601472936$$
$$x_{7} = 62.2055344618$$
$$x_{8} = -15.7097768147$$
$$x_{9} = -99.9063450258$$
$$x_{10} = 6.28174854702$$
$$x_{11} = -23.8763747639$$
$$x_{12} = -77.9152358799$$
$$x_{13} = 11.9409894495$$
$$x_{14} = -5.65878797955$$
$$x_{15} = 10.0505671193$$
$$x_{16} = -45.8654643659$$
$$x_{17} = 28.2732775172$$
$$x_{18} = 80.4275459544$$
$$x_{19} = 40.2140116834$$
$$x_{20} = 16.3326837963$$
$$x_{21} = 52.1540291813$$
$$x_{22} = -8.16635530554$$
$$x_{23} = -35.8114316182$$
$$x_{24} = 50.2648091023$$
$$x_{25} = 87.966298629$$
$$x_{26} = 72.2563423439$$
$$x_{27} = -25.7605784588$$
$$x_{28} = -98.0168349516$$
$$x_{29} = 54.0336900268$$
$$x_{30} = -65.9747277015$$
$$x_{31} = 21.9915773126$$
$$x_{32} = -37.7012974963$$
$$x_{33} = -32.0421234407$$
$$x_{34} = 86.0760656006$$
$$x_{35} = 43.983153572$$
$$x_{36} = -47.7521121729$$
$$x_{37} = -69.743646123$$
$$x_{38} = -67.8552775707$$
$$x_{39} = -21.9915773126$$
$$x_{40} = 82.3071761552$$
$$x_{41} = 64.0847521665$$
$$x_{42} = -76.025260805$$
$$x_{43} = -13.8199443846$$
$$x_{44} = -87.9662984877$$
$$x_{45} = -10.0505629926$$
$$x_{46} = -82.9397488946$$
$$x_{47} = -54.0336898859$$
$$x_{48} = -43.9831535715$$
$$x_{49} = -55.9239226689$$
$$x_{50} = 32.0421243329$$
$$x_{51} = -81.6843197122$$
$$x_{52} = -1.88716643935$$
$$x_{53} = -86.0759303988$$
$$x_{54} = 65.974727715$$
$$x_{55} = 94.2478762944$$
$$x_{56} = 38.3241704569$$
$$x_{57} = 55.9240580466$$
$$x_{58} = -91.735179363$$
$$x_{59} = 98.0168349521$$
$$x_{60} = -79.7944539864$$
$$x_{61} = 33.9325311046$$
$$x_{62} = 60.3156687131$$
$$x_{63} = -59.6928122813$$
$$x_{64} = 18.2224844619$$
$$x_{65} = 34.5607591496$$
$$x_{66} = 76.0252608185$$
$$x_{67} = 84.1970507956$$
$$x_{68} = 42.093642681$$
$$x_{69} = -61.5724300625$$
$$x_{70} = -57.8029376418$$
$$x_{71} = 0$$
$$x_{72} = -39.586697699$$
$$x_{73} = -11.9409740617$$
$$x_{74} = 74.1447092107$$
$$x_{75} = 8.17150453486$$
$$x_{76} = -3.76904592768$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(5*x)^7.
$$\sin^{7}{\left (0 \cdot 5 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$35 \sin^{6}{\left (5 x \right )} \cos{\left (5 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{10}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 10    

 pi    
(--, 0)
 5     

 3*pi     
(----, -1)
  10      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{10}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{10}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/10] U [3*pi/10, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/10, 3*pi/10]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$175 \left(- \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 6 \cos^{2}{\left (5 x \right )}\right) \sin^{5}{\left (5 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{2}{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{- \sqrt{7} + 4} \right )}$$
$$x_{4} = \frac{2}{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{- \sqrt{7} + 4} \right )}$$
$$x_{5} = - \frac{2}{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\sqrt{7} + 4} \right )}$$
$$x_{6} = \frac{2}{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\sqrt{7} + 4} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(sqrt(3)*sqrt(sqrt(7) + 4)/3)/5, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(3)*sqrt(sqrt(7) + 4)/3)/5]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{7}{\left (5 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{7}{\left (5 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(5*x)^7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{7}{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{7}{\left (5 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{7}{\left (5 x \right )} = - \sin^{7}{\left (5 x \right )}$$
- Нет
$$\sin^{7}{\left (5 x \right )} = - -1 \sin^{7}{\left (5 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной