График функции y = sin(7*x)

Вы ввели

f(x) = sin(7*x)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (7 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (7 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{7}$$
Численное решение
$$x_{1} = 74.0518268346$$
$$x_{2} = 30.0695296844$$
$$x_{3} = 12.1175716638$$
$$x_{4} = -71.8078320821$$
$$x_{5} = -79.8862131913$$
$$x_{6} = 98.2869701623$$
$$x_{7} = -27.8255349318$$
$$x_{8} = -83.9254037459$$
$$x_{9} = -48.0214877049$$
$$x_{10} = 26.0303391297$$
$$x_{11} = 52.0606782595$$
$$x_{12} = -45.7774929523$$
$$x_{13} = -96.0429754097$$
$$x_{14} = 43.9822971503$$
$$x_{15} = -39.9431065956$$
$$x_{16} = 61.9342551708$$
$$x_{17} = -87.9645943005$$
$$x_{18} = 24.2351433277$$
$$x_{19} = -4.03919055462$$
$$x_{20} = 54.3046730121$$
$$x_{21} = 87.9645943005$$
$$x_{22} = -13.9127674659$$
$$x_{23} = -89.7597901026$$
$$x_{24} = 90.2085890531$$
$$x_{25} = -32.3135244369$$
$$x_{26} = 8.07838110923$$
$$x_{27} = 56.0998688141$$
$$x_{28} = -17.9519580205$$
$$x_{29} = -30.0695296844$$
$$x_{30} = -8.97597901026$$
$$x_{31} = 48.0214877049$$
$$x_{32} = -21.9911485751$$
$$x_{33} = -37.6991118431$$
$$x_{34} = 63.2806520223$$
$$x_{35} = 21.9911485751$$
$$x_{36} = 34.108720239$$
$$x_{37} = -92.0037848551$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = -70.01263628$$
$$x_{40} = 68.2174404779$$
$$x_{41} = 50.2654824574$$
$$x_{42} = -59.6902604182$$
$$x_{43} = 28.2743338823$$
$$x_{44} = -43.9822971503$$
$$x_{45} = 76.2958215872$$
$$x_{46} = -81.6814089933$$
$$x_{47} = -23.7863443772$$
$$x_{48} = 82.1302079438$$
$$x_{49} = -75.8470226367$$
$$x_{50} = 72.2566310326$$
$$x_{51} = -65.9734457254$$
$$x_{52} = -72.7054299831$$
$$x_{53} = -5.83438635667$$
$$x_{54} = 60.1390593687$$
$$x_{55} = 32.3135244369$$
$$x_{56} = 64.1782499233$$
$$x_{57} = 17.9519580205$$
$$x_{58} = 38.1479107936$$
$$x_{59} = 92.0037848551$$
$$x_{60} = -101.877361766$$
$$x_{61} = -53.8558740615$$
$$x_{62} = -67.7686415274$$
$$x_{63} = -1.79519580205$$
$$x_{64} = 42.1871013482$$
$$x_{65} = 94.2477796077$$
$$x_{66} = 20.1959527731$$
$$x_{67} = -35.903916041$$
$$x_{68} = -74.0518268346$$
$$x_{69} = 46.2262919028$$
$$x_{70} = -31.8647254864$$
$$x_{71} = -85.720599548$$
$$x_{72} = 16.1567622185$$
$$x_{73} = 100.082165964$$
$$x_{74} = -49.8166835069$$
$$x_{75} = -15.7079632679$$
$$x_{76} = -57.8950646162$$
$$x_{77} = 83.4766047954$$
$$x_{78} = 65.9734457254$$
$$x_{79} = -19.7471538226$$
$$x_{80} = 70.01263628$$
$$x_{81} = 2.24399475256$$
$$x_{82} = -63.7294509728$$
$$x_{83} = -97.8381712118$$
$$x_{84} = -9.87357691128$$
$$x_{85} = 4.03919055462$$
$$x_{86} = -61.9342551708$$
$$x_{87} = 6.28318530718$$
$$x_{88} = 96.0429754097$$
$$x_{89} = -93.7989806572$$
$$x_{90} = -41.7383023977$$
$$x_{91} = -26.0303391297$$
$$x_{92} = 78.0910173892$$
$$x_{93} = 86.1693984985$$
$$x_{94} = 39.9431065956$$
$$x_{95} = -52.0606782595$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(7*x).
$$\sin{\left (0 \cdot 7 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$7 \cos{\left (7 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{14}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{14}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 14    

 3*pi     
(----, -1)
  14      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{14}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{14}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/14] U [3*pi/14, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/14, 3*pi/14]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 49 \sin{\left (7 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{7}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/7, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/7]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (7 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (7 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(7*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (7 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (7 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (7 x \right )} = - \sin{\left (7 x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (7 x \right )} = - -1 \sin{\left (7 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной