График функции y = sin(6*x)

Вы ввели

f(x) = sin(6*x)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (6 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (6 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.66519142919$$
$$x_{2} = -100.007366139$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = 48.171087355$$
$$x_{5} = 9.94837673637$$
$$x_{6} = -51.8362787842$$
$$x_{7} = 36.1283155163$$
$$x_{8} = -71.733032257$$
$$x_{9} = 92.1533845053$$
$$x_{10} = 80.1106126665$$
$$x_{11} = 34.0339204139$$
$$x_{12} = 26.1799387799$$
$$x_{13} = -2.09439510239$$
$$x_{14} = -12.0427718388$$
$$x_{15} = 14.1371669412$$
$$x_{16} = 68.0678408278$$
$$x_{17} = 31.9395253115$$
$$x_{18} = -5.75958653158$$
$$x_{19} = -19.8967534727$$
$$x_{20} = -7.85398163397$$
$$x_{21} = -90.0589894029$$
$$x_{22} = 18.3259571459$$
$$x_{23} = -59.1666616426$$
$$x_{24} = 43.9822971503$$
$$x_{25} = -31.9395253115$$
$$x_{26} = -25.6563400043$$
$$x_{27} = -75.9218224618$$
$$x_{28} = -27.7507351067$$
$$x_{29} = -59.6902604182$$
$$x_{30} = 62.3082542962$$
$$x_{31} = -61.7846555206$$
$$x_{32} = 87.9645943005$$
$$x_{33} = 99.4837673637$$
$$x_{34} = 97.9129710369$$
$$x_{35} = 75.9218224618$$
$$x_{36} = -46.0766922527$$
$$x_{37} = 12.0427718388$$
$$x_{38} = -34.0339204139$$
$$x_{39} = -97.9129710369$$
$$x_{40} = -21.9911485751$$
$$x_{41} = -37.6991118431$$
$$x_{42} = 78.0162175641$$
$$x_{43} = 21.9911485751$$
$$x_{44} = -29.8451302091$$
$$x_{45} = 0$$
$$x_{46} = 16.2315620435$$
$$x_{47} = 67.5442420522$$
$$x_{48} = 100.007366139$$
$$x_{49} = -17.8023583703$$
$$x_{50} = -384.845100065$$
$$x_{51} = -68.0678408278$$
$$x_{52} = 84.2994028713$$
$$x_{53} = 50.2654824574$$
$$x_{54} = -49.7418836818$$
$$x_{55} = -63.879050623$$
$$x_{56} = -93.7241808321$$
$$x_{57} = 28.2743338823$$
$$x_{58} = -43.9822971503$$
$$x_{59} = -41.8879020479$$
$$x_{60} = -81.6814089933$$
$$x_{61} = -90.5825881785$$
$$x_{62} = 72.2566310326$$
$$x_{63} = 46.0766922527$$
$$x_{64} = -65.9734457254$$
$$x_{65} = 90.0589894029$$
$$x_{66} = -73.8274273594$$
$$x_{67} = -56.025068989$$
$$x_{68} = 56.025068989$$
$$x_{69} = -82.2050077689$$
$$x_{70} = 96.3421747101$$
$$x_{71} = -24.0855436775$$
$$x_{72} = 94.2477796077$$
$$x_{73} = -9.94837673637$$
$$x_{74} = 82.2050077689$$
$$x_{75} = -15.7079632679$$
$$x_{76} = 93.2005820565$$
$$x_{77} = -78.0162175641$$
$$x_{78} = 65.9734457254$$
$$x_{79} = 10.471975512$$
$$x_{80} = -83.7758040957$$
$$x_{81} = 38.2227106187$$
$$x_{82} = 58.1194640914$$
$$x_{83} = 40.3171057211$$
$$x_{84} = -39.7935069455$$
$$x_{85} = 2.09439510239$$
$$x_{86} = 70.1622359302$$
$$x_{87} = -85.8701991981$$
$$x_{88} = 4.18879020479$$
$$x_{89} = -53.9306738866$$
$$x_{90} = 6.28318530718$$
$$x_{91} = -87.9645943005$$
$$x_{92} = 24.0855436775$$
$$x_{93} = 53.9306738866$$
$$x_{94} = 34.5575191895$$
$$x_{95} = 60.2138591938$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(6*x).
$$\sin{\left (0 \cdot 6 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 \cos{\left (6 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 12    

 pi     
(--, -1)
 4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{12}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/12] U [pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/12, pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 36 \sin{\left (6 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/6, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/6]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (6 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (6 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(6*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (6 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (6 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (6 x \right )} = - \sin{\left (6 x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (6 x \right )} = - -1 \sin{\left (6 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной