График функции y = sin(t)

Вы ввели

f(t) = sin(t)

$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:

Аналитическое решение
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
Численное решение
$$t_{1} = -100.530964914873$$
$$t_{2} = 0$$
$$t_{3} = -87.9645943005142$$
$$t_{4} = 84.8230016469244$$
$$t_{5} = -94.2477796076938$$
$$t_{6} = 34.5575191894877$$
$$t_{7} = -15.707963267949$$
$$t_{8} = 18.8495559215388$$
$$t_{9} = 72.2566310325652$$
$$t_{10} = -65.9734457253857$$
$$t_{11} = -6.28318530717959$$
$$t_{12} = -34.5575191894877$$
$$t_{13} = -40.8407044966673$$
$$t_{14} = -21.9911485751286$$
$$t_{15} = 15.707963267949$$
$$t_{16} = -69.1150383789755$$
$$t_{17} = -53.4070751110265$$
$$t_{18} = 81.6814089933346$$
$$t_{19} = -97.3893722612836$$
$$t_{20} = 50.2654824574367$$
$$t_{21} = 97.3893722612836$$
$$t_{22} = -84.8230016469244$$
$$t_{23} = -59.6902604182061$$
$$t_{24} = 69.1150383789755$$
$$t_{25} = 62.8318530717959$$
$$t_{26} = 75.398223686155$$
$$t_{27} = -75.398223686155$$
$$t_{28} = -50.2654824574367$$
$$t_{29} = -31.4159265358979$$
$$t_{30} = 40.8407044966673$$
$$t_{31} = 9.42477796076938$$
$$t_{32} = -2642.07942166902$$
$$t_{33} = -28.2743338823081$$
$$t_{34} = 53.4070751110265$$
$$t_{35} = -232.477856365645$$
$$t_{36} = -25.1327412287183$$
$$t_{37} = 12.5663706143592$$
$$t_{38} = -18.8495559215388$$
$$t_{39} = 25.1327412287183$$
$$t_{40} = 87.9645943005142$$
$$t_{41} = -78.5398163397448$$
$$t_{42} = -37.6991118430775$$
$$t_{43} = 94.2477796076938$$
$$t_{44} = -43.9822971502571$$
$$t_{45} = 91.106186954104$$
$$t_{46} = -113.097335529233$$
$$t_{47} = -9.42477796076938$$
$$t_{48} = 78.5398163397448$$
$$t_{49} = -62.8318530717959$$
$$t_{50} = 59.6902604182061$$
$$t_{51} = 37.6991118430775$$
$$t_{52} = -91.106186954104$$
$$t_{53} = -72.2566310325652$$
$$t_{54} = -81.6814089933346$$
$$t_{55} = -267.035375555132$$
$$t_{56} = 65.9734457253857$$
$$t_{57} = -47.1238898038469$$
$$t_{58} = -3.14159265358979$$
$$t_{59} = -56.5486677646163$$
$$t_{60} = 43.9822971502571$$
$$t_{61} = 31.4159265358979$$
$$t_{62} = 3.14159265358979$$
$$t_{63} = 21.9911485751286$$
$$t_{64} = 100.530964914873$$
$$t_{65} = 28.2743338823081$$
$$t_{66} = 6.28318530717959$$
$$t_{67} = 47.1238898038469$$
$$t_{68} = 56.5486677646163$$
$$t_{69} = -12.5663706143592$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда t равняется 0:
подставляем t = 0 в sin(t).
$$\sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =$$
первая производная
$$\cos{\left(t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$t_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =$$
вторая производная
$$- \sin{\left(t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty} \sin{\left(t \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \sin{\left(t \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(t), делённой на t при t->+oo и t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График