График функции y = sin(tan(x))

Вы ввели

f(x) = sin(tan(x))

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left (\pi \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = -52.1444478553$$
$$x_{3} = 31.4159265359$$
$$x_{4} = -1.87896539791$$
$$x_{5} = 36.1737570534$$
$$x_{6} = 5.0205580515$$
$$x_{7} = 52.1444478553$$
$$x_{8} = 84.8230016469$$
$$x_{9} = -53.407075111$$
$$x_{10} = -29.536961138$$
$$x_{11} = 65.9734457254$$
$$x_{12} = -12.5663706144$$
$$x_{13} = -67.8524111233$$
$$x_{14} = 15.7079632679$$
$$x_{15} = 100.530964915$$
$$x_{16} = 50.2654824574$$
$$x_{17} = -3.14159265359$$
$$x_{18} = 40.8407044967$$
$$x_{19} = -59.6902604182$$
$$x_{20} = 97.3893722613$$
$$x_{21} = 78.5398163397$$
$$x_{22} = -25.1327412287$$
$$x_{23} = -43.9822971503$$
$$x_{24} = -86.7019670448$$
$$x_{25} = 30.0029613994$$
$$x_{26} = 28.2743338823$$
$$x_{27} = -81.6814089933$$
$$x_{28} = -91.1061869541$$
$$x_{29} = 9.42477796077$$
$$x_{30} = 87.9645943005$$
$$x_{31} = 96.1267450056$$
$$x_{32} = -34.5575191895$$
$$x_{33} = 20.4016303251$$
$$x_{34} = -31.4159265359$$
$$x_{35} = 37.6991118431$$
$$x_{36} = 72.2566310326$$
$$x_{37} = 56.5486677646$$
$$x_{38} = -75.3982236862$$
$$x_{39} = -20.1121831772$$
$$x_{40} = -20.7285213194$$
$$x_{41} = -9.42477796077$$
$$x_{42} = 6.28318530718$$
$$x_{43} = 75.3982236862$$
$$x_{44} = -65.9734457254$$
$$x_{45} = -87.9645943005$$
$$x_{46} = -1721.59277417$$
$$x_{47} = -72.2566310326$$
$$x_{48} = 42.2536696332$$
$$x_{49} = 18.8495559215$$
$$x_{50} = -7.81421387537$$
$$x_{51} = -89.8435596984$$
$$x_{52} = -84.8230016469$$
$$x_{53} = -6.28318530718$$
$$x_{54} = -50.2654824574$$
$$x_{55} = -56.5486677646$$
$$x_{56} = 91.1061869541$$
$$x_{57} = -23.870113973$$
$$x_{58} = 59.6902604182$$
$$x_{59} = -47.1238898038$$
$$x_{60} = 12.5663706144$$
$$x_{61} = 74.1355964305$$
$$x_{62} = -69.115038379$$
$$x_{63} = 62.8318530718$$
$$x_{64} = -36.4364845874$$
$$x_{65} = -21.9911485751$$
$$x_{66} = -37.6991118431$$
$$x_{67} = -97.3893722613$$
$$x_{68} = 94.2477796077$$
$$x_{69} = 34.5575191895$$
$$x_{70} = -45.8612625482$$
$$x_{71} = -64.7108184697$$
$$x_{72} = 64.2448182083$$
$$x_{73} = 21.9911485751$$
$$x_{74} = -100.530964915$$
$$x_{75} = 53.407075111$$
$$x_{76} = -78.5398163397$$
$$x_{77} = 0$$
$$x_{78} = 43.9822971503$$
$$x_{79} = -40.8407044967$$
$$x_{80} = 81.6814089933$$
$$x_{81} = -15.7079632679$$
$$x_{82} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(tan(x)).
$$\sin{\left (\tan{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left (\frac{\pi}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left (\frac{3 \pi}{2} \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

     /pi\    
(atan|--|, 1)
     \2 /    

     /3*pi\     
(atan|----|, -1)
     \ 2  /     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left (\frac{3 \pi}{2} \right )}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left (\frac{\pi}{2} \right )}$$
Убывает на промежутках

(-oo, atan(pi/2)] U [atan(3*pi/2), oo)

Возрастает на промежутках

[atan(pi/2), atan(3*pi/2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\left(- \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} + 2 \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -77.8847578313$$
$$x_{2} = -35.212577698$$
$$x_{3} = 2.48653414512$$
$$x_{4} = -3.79665116206$$
$$x_{5} = 76.0532821946$$
$$x_{6} = 68.4599798705$$
$$x_{7} = 69.7700968874$$
$$x_{8} = -46.4688312954$$
$$x_{9} = 30.7608680274$$
$$x_{10} = -24.4776827203$$
$$x_{11} = 56.5486677646$$
$$x_{12} = -57.2037262731$$
$$x_{13} = -19.50461443$$
$$x_{14} = 52.7520166026$$
$$x_{15} = -55.8936092561$$
$$x_{16} = -2.48653414512$$
$$x_{17} = -96.0883670476$$
$$x_{18} = 58.2704602532$$
$$x_{19} = -25.7877997372$$
$$x_{20} = -29.9961263709$$
$$x_{21} = 40.1856459882$$
$$x_{22} = -18.1944974131$$
$$x_{23} = 14.4069580542$$
$$x_{24} = 8.7697194523$$
$$x_{25} = 43.9822971503$$
$$x_{26} = 96.7343137528$$
$$x_{27} = -69.7700968874$$
$$x_{28} = -97.3893722613$$
$$x_{29} = 54.0621336195$$
$$x_{30} = -13.2214291228$$
$$x_{31} = -33.902460681$$
$$x_{32} = -40.1856459882$$
$$x_{33} = 91.7612454626$$
$$x_{34} = -47.7789483123$$
$$x_{35} = 62.8318530718$$
$$x_{36} = 87.9645943005$$
$$x_{37} = 78.5398163397$$
$$x_{38} = 25.7877997372$$
$$x_{39} = 24.4776827203$$
$$x_{40} = -63.4869115803$$
$$x_{41} = 41.4957630051$$
$$x_{42} = 62.1767945633$$
$$x_{43} = 36.2793116781$$
$$x_{44} = -90.4511284456$$
$$x_{45} = -21.9911485751$$
$$x_{46} = -37.6991118431$$
$$x_{47} = 46.4688312954$$
$$x_{48} = 80.2616088284$$
$$x_{49} = 21.9911485751$$
$$x_{50} = 0$$
$$x_{51} = 98.0444307698$$
$$x_{52} = -94.2477796077$$
$$x_{53} = 18.1944974131$$
$$x_{54} = 3.79665116206$$
$$x_{55} = 15.7079632679$$
$$x_{56} = 64.1328582855$$
$$x_{57} = 50.2654824574$$
$$x_{58} = -53.407075111$$
$$x_{59} = -59.6902604182$$
$$x_{60} = -68.4599798705$$
$$x_{61} = 28.2743338823$$
$$x_{62} = -43.9822971503$$
$$x_{63} = -81.6814089933$$
$$x_{64} = -91.7612454626$$
$$x_{65} = -62.1767945633$$
$$x_{66} = 72.2566310326$$
$$x_{67} = -84.1679431385$$
$$x_{68} = -65.9734457254$$
$$x_{69} = -72.2566310326$$
$$x_{70} = 32.0709850444$$
$$x_{71} = -5.62812679871$$
$$x_{72} = 47.7789483123$$
$$x_{73} = 94.2477796077$$
$$x_{74} = 74.7431651777$$
$$x_{75} = 10.0798364692$$
$$x_{76} = -15.7079632679$$
$$x_{77} = 85.4780601554$$
$$x_{78} = 19.50461443$$
$$x_{79} = 65.9734457254$$
$$x_{80} = 100.530964915$$
$$x_{81} = -51.9872749461$$
$$x_{82} = -85.4780601554$$
$$x_{83} = -31.4159265359$$
$$x_{84} = -74.0972184725$$
$$x_{85} = -11.9113121059$$
$$x_{86} = -75.3982236862$$
$$x_{87} = -9.42477796077$$
$$x_{88} = 6.28318530718$$
$$x_{89} = -87.9645943005$$
$$x_{90} = 84.1679431385$$
$$x_{91} = -41.4957630051$$
$$x_{92} = -99.8759064064$$
$$x_{93} = -50.2654824574$$
$$x_{94} = 90.4511284456$$
$$x_{95} = -79.1948748482$$
$$x_{96} = -7.75048340372$$
$$x_{97} = 38.3541703515$$
$$x_{98} = -28.2743338823$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[100.530964915, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -97.3893722613]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} = \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \tan^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \tan^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} = \sin{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \sin{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(tan(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \tan^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \left(\tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \tan^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \tan^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \left(\tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \tan^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + \tilde{\infty} \cos{\left (\tan{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} = - \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} = - -1 \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной