График функции y = (sin(3*x))^2

Вы ввели

          2     
f(x) = sin (3*x)

$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(3 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -90.0589893540864$$
$$x_{2} = -68.0678407742199$$
$$x_{3} = -52.3598773534304$$
$$x_{4} = -458.672527220906$$
$$x_{5} = 52.3598775005845$$
$$x_{6} = 10.4719754514552$$
$$x_{7} = -79.587013962129$$
$$x_{8} = 98.4365697412614$$
$$x_{9} = -57.5958653860056$$
$$x_{10} = 92.153384609279$$
$$x_{11} = 28.2743338654616$$
$$x_{12} = 74.351026078903$$
$$x_{13} = 30.3687289225719$$
$$x_{14} = 15.7079631676307$$
$$x_{15} = -87.9645943606119$$
$$x_{16} = -28.2743339027943$$
$$x_{17} = 6.2831852847685$$
$$x_{18} = 83.7758041555675$$
$$x_{19} = -65.9734457660819$$
$$x_{20} = 76.445421167341$$
$$x_{21} = -33.5103216848946$$
$$x_{22} = 90.0589892608867$$
$$x_{23} = 100.530964959912$$
$$x_{24} = 34.5575193908685$$
$$x_{25} = 43.9822971689772$$
$$x_{26} = 48.1710874341111$$
$$x_{27} = 94.2477796093541$$
$$x_{28} = 70.1622360218137$$
$$x_{29} = -4.18879013064742$$
$$x_{30} = 65.973445751897$$
$$x_{31} = 19.896753540642$$
$$x_{32} = -48.1710872785046$$
$$x_{33} = 63.8790506955489$$
$$x_{34} = 54.4542725942726$$
$$x_{35} = -35.6047168094363$$
$$x_{36} = 83.7758041420923$$
$$x_{37} = -59.6902604556648$$
$$x_{38} = -46.0766921948394$$
$$x_{39} = -99.4837673664303$$
$$x_{40} = -61.7846554917911$$
$$x_{41} = 59.6902602103008$$
$$x_{42} = -71.2094334160924$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = -81.6814090352758$$
$$x_{45} = 12.566370486226$$
$$x_{46} = 32.463124022232$$
$$x_{47} = -92.1533844285198$$
$$x_{48} = 39.7935070144417$$
$$x_{49} = -43.9822971750521$$
$$x_{50} = 26.1799388472337$$
$$x_{51} = 56.5486679087207$$
$$x_{52} = -21.9911485865686$$
$$x_{53} = 17.8023584422991$$
$$x_{54} = 81.6814093004925$$
$$x_{55} = 78.5398164276763$$
$$x_{56} = 37.699111685071$$
$$x_{57} = -94.2477795706448$$
$$x_{58} = 21.9911485850825$$
$$x_{59} = 61.7846555856111$$
$$x_{60} = -11.5191731177358$$
$$x_{61} = -83.7758040749281$$
$$x_{62} = -13.6135682324625$$
$$x_{63} = -17.8023583237749$$
$$x_{64} = -39.7935069081029$$
$$x_{65} = 68.0678406435528$$
$$x_{66} = -37.6991118757886$$
$$x_{67} = 8.37758034488241$$
$$x_{68} = -77.4926188103359$$
$$x_{69} = 72.2566310277355$$
$$x_{70} = 50.2654824464452$$
$$x_{71} = 41.8879021182991$$
$$x_{72} = -2.09439503742649$$
$$x_{73} = -55.5014702493934$$
$$x_{74} = 4.18879026129896$$
$$x_{75} = -70.1622358532669$$
$$x_{76} = -6.28318536172932$$
$$x_{77} = -15.7079632956456$$
$$x_{78} = -26.1799387042774$$
$$x_{79} = 87.9645943339958$$
$$x_{80} = -72.2566310094027$$
$$x_{81} = 96.3421746575137$$
$$x_{82} = -24.0855436159154$$
$$x_{83} = 85.8701992723906$$
$$x_{84} = -50.2654824528405$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(3*x)^2.
$$\sin^{2}{\left(3 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 6     

 pi    
(--, 0)
 3     

 pi    
(--, 1)
 2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$18 \left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{12}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{\pi}{12}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(3*x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(3 x \right)} = \sin^{2}{\left(3 x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(3 x \right)} = - \sin^{2}{\left(3 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График