График функции y = sin(y)

Вы ввели

f(y) = sin(y)

$$f{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$
Численное решение
$$y_{1} = -84.8230016469244$$
$$y_{2} = -12.5663706143592$$
$$y_{3} = 75.398223686155$$
$$y_{4} = -50.2654824574367$$
$$y_{5} = -97.3893722612836$$
$$y_{6} = 3.14159265358979$$
$$y_{7} = 15.707963267949$$
$$y_{8} = 59.6902604182061$$
$$y_{9} = 40.8407044966673$$
$$y_{10} = -62.8318530717959$$
$$y_{11} = 21.9911485751286$$
$$y_{12} = -53.4070751110265$$
$$y_{13} = -72.2566310325652$$
$$y_{14} = 9.42477796076938$$
$$y_{15} = 87.9645943005142$$
$$y_{16} = -91.106186954104$$
$$y_{17} = -100.530964914873$$
$$y_{18} = -34.5575191894877$$
$$y_{19} = -47.1238898038469$$
$$y_{20} = -87.9645943005142$$
$$y_{21} = 0$$
$$y_{22} = -21.9911485751286$$
$$y_{23} = 37.6991118430775$$
$$y_{24} = -28.2743338823081$$
$$y_{25} = -232.477856365645$$
$$y_{26} = -6.28318530717959$$
$$y_{27} = 43.9822971502571$$
$$y_{28} = 91.106186954104$$
$$y_{29} = -2642.07942166902$$
$$y_{30} = -40.8407044966673$$
$$y_{31} = 94.2477796076938$$
$$y_{32} = -31.4159265358979$$
$$y_{33} = -69.1150383789755$$
$$y_{34} = 47.1238898038469$$
$$y_{35} = 62.8318530717959$$
$$y_{36} = -56.5486677646163$$
$$y_{37} = 18.8495559215388$$
$$y_{38} = -37.6991118430775$$
$$y_{39} = 56.5486677646163$$
$$y_{40} = 65.9734457253857$$
$$y_{41} = -59.6902604182061$$
$$y_{42} = -75.398223686155$$
$$y_{43} = -3.14159265358979$$
$$y_{44} = 81.6814089933346$$
$$y_{45} = -18.8495559215388$$
$$y_{46} = 31.4159265358979$$
$$y_{47} = -267.035375555132$$
$$y_{48} = -9.42477796076938$$
$$y_{49} = -15.707963267949$$
$$y_{50} = -43.9822971502571$$
$$y_{51} = -113.097335529233$$
$$y_{52} = 78.5398163397448$$
$$y_{53} = -78.5398163397448$$
$$y_{54} = -81.6814089933346$$
$$y_{55} = 84.8230016469244$$
$$y_{56} = 28.2743338823081$$
$$y_{57} = -25.1327412287183$$
$$y_{58} = -65.9734457253857$$
$$y_{59} = 97.3893722612836$$
$$y_{60} = 69.1150383789755$$
$$y_{61} = 50.2654824574367$$
$$y_{62} = 100.530964914873$$
$$y_{63} = 34.5575191894877$$
$$y_{64} = 6.28318530717959$$
$$y_{65} = 25.1327412287183$$
$$y_{66} = 53.4070751110265$$
$$y_{67} = -94.2477796076938$$
$$y_{68} = 12.5663706143592$$
$$y_{69} = 72.2566310325652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в sin(y).
$$\sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =$$
первая производная
$$\cos{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =$$
вторая производная
$$- \sin{\left(y \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \sin{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty} \sin{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(y), делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(y \right)}}{y}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(y \right)}}{y}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(y \right)} = - \sin{\left(y \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График