График функции y = sin(x)/(2+cos(x))

Вы ввели

         sin(x)  
f(x) = ----------
       2 + cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 65.9734457254$$
$$x_{7} = 3.14159265359$$
$$x_{8} = 15.7079632679$$
$$x_{9} = 100.530964915$$
$$x_{10} = 50.2654824574$$
$$x_{11} = -3.14159265359$$
$$x_{12} = 40.8407044967$$
$$x_{13} = -59.6902604182$$
$$x_{14} = 97.3893722613$$
$$x_{15} = 78.5398163397$$
$$x_{16} = -25.1327412287$$
$$x_{17} = -43.9822971503$$
$$x_{18} = 25.1327412287$$
$$x_{19} = -81.6814089933$$
$$x_{20} = -91.1061869541$$
$$x_{21} = 87.9645943005$$
$$x_{22} = 69.115038379$$
$$x_{23} = -34.5575191895$$
$$x_{24} = 28.2743338823$$
$$x_{25} = -31.4159265359$$
$$x_{26} = 37.6991118431$$
$$x_{27} = -28.2743338823$$
$$x_{28} = 72.2566310326$$
$$x_{29} = 56.5486677646$$
$$x_{30} = -75.3982236862$$
$$x_{31} = -69.115038379$$
$$x_{32} = -6.28318530718$$
$$x_{33} = -9.42477796077$$
$$x_{34} = 6.28318530718$$
$$x_{35} = 75.3982236862$$
$$x_{36} = -65.9734457254$$
$$x_{37} = -87.9645943005$$
$$x_{38} = -72.2566310326$$
$$x_{39} = 18.8495559215$$
$$x_{40} = -267.035375555$$
$$x_{41} = -84.8230016469$$
$$x_{42} = 9.42477796077$$
$$x_{43} = -50.2654824574$$
$$x_{44} = -56.5486677646$$
$$x_{45} = -232.477856366$$
$$x_{46} = -2642.07942167$$
$$x_{47} = 91.1061869541$$
$$x_{48} = 59.6902604182$$
$$x_{49} = -47.1238898038$$
$$x_{50} = 12.5663706144$$
$$x_{51} = -62.8318530718$$
$$x_{52} = 62.8318530718$$
$$x_{53} = -18.8495559215$$
$$x_{54} = -12.5663706144$$
$$x_{55} = -37.6991118431$$
$$x_{56} = -97.3893722613$$
$$x_{57} = 94.2477796077$$
$$x_{58} = 34.5575191895$$
$$x_{59} = -21.9911485751$$
$$x_{60} = 21.9911485751$$
$$x_{61} = -100.530964915$$
$$x_{62} = 53.407075111$$
$$x_{63} = -113.097335529$$
$$x_{64} = -78.5398163397$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{66} = 43.9822971503$$
$$x_{67} = -40.8407044967$$
$$x_{68} = -15.7079632679$$
$$x_{69} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/(2 + cos(x)).
$$\frac{\sin{\left (0 \right )}}{\cos{\left (0 \right )} + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

           ___  
 -2*pi  -\/ 3   
(-----, -------)
   3       3    

         ___ 
 2*pi  \/ 3  
(----, -----)
  3      3   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках

[-2*pi/3, 2*pi/3]

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*pi/3] U [2*pi/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} \left(-1 + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/(2 + cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} = - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} = - \frac{-1 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной