График функции y = sin(x)/2+cos(x)

Вы ввели

       sin(x)         
f(x) = ------ + cos(x)
         2            

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 64.8662970076$$
$$x_{2} = 24.0255925109$$
$$x_{3} = -98.4965209791$$
$$x_{4} = -89.0717430183$$
$$x_{5} = -10.5319266786$$
$$x_{6} = -16.8151119857$$
$$x_{7} = 17.7424072037$$
$$x_{8} = -57.6558164824$$
$$x_{9} = -63.9390017896$$
$$x_{10} = -48.2310385216$$
$$x_{11} = 71.1494823148$$
$$x_{12} = 74.2910749684$$
$$x_{13} = -54.5142238288$$
$$x_{14} = 39.7335557789$$
$$x_{15} = 11.4592218966$$
$$x_{16} = -26.2398899465$$
$$x_{17} = 89.9990382363$$
$$x_{18} = -7.39033402497$$
$$x_{19} = -32.5230752537$$
$$x_{20} = -45.0894458681$$
$$x_{21} = 30.3087778181$$
$$x_{22} = -23.0982972929$$
$$x_{23} = 55.4415190468$$
$$x_{24} = 33.4503704717$$
$$x_{25} = 96.2822235435$$
$$x_{26} = 83.7158529291$$
$$x_{27} = 80.5742602755$$
$$x_{28} = 86.8574455827$$
$$x_{29} = -35.6646679073$$
$$x_{30} = -13.6735193322$$
$$x_{31} = 8.31762924298$$
$$x_{32} = 52.2999263932$$
$$x_{33} = -243.009783044$$
$$x_{34} = -1.10714871779$$
$$x_{35} = -95.3549283255$$
$$x_{36} = 14.6008145502$$
$$x_{37} = -4.24874137138$$
$$x_{38} = 2.0344439358$$
$$x_{39} = -38.8062605609$$
$$x_{40} = -29.3814826001$$
$$x_{41} = -73.3637797504$$
$$x_{42} = -70.2221870968$$
$$x_{43} = -76.5053724039$$
$$x_{44} = -79.6469650575$$
$$x_{45} = -104.779706286$$
$$x_{46} = 61.724704354$$
$$x_{47} = -41.9478532145$$
$$x_{48} = -19.9567046393$$
$$x_{49} = 68.0078896612$$
$$x_{50} = 5.17603658939$$
$$x_{51} = 27.1671851645$$
$$x_{52} = -67.0805944432$$
$$x_{53} = 46.0167410861$$
$$x_{54} = -82.7885577111$$
$$x_{55} = 36.5919631253$$
$$x_{56} = -51.3726311752$$
$$x_{57} = -85.9301503647$$
$$x_{58} = 58.5831117004$$
$$x_{59} = -92.2133356719$$
$$x_{60} = 93.1406308899$$
$$x_{61} = 77.432667622$$
$$x_{62} = 49.1583337396$$
$$x_{63} = 42.8751484325$$
$$x_{64} = -60.797409136$$
$$x_{65} = 99.4238161971$$
$$x_{66} = 20.8839998573$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/2 + cos(x).
$$\frac{1}{2} \sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (2 + \sqrt{5} \right )}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{5} + 2 \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

                          /      /      ___\\                          
        /      ___\    sin\2*atan\2 + \/ 5 //      /      /      ___\\ 
(-2*atan\2 + \/ 5 /, - ---------------------- + cos\2*atan\2 + \/ 5 //)
                                 2                                     

                          /      /      ___\\                          
        /      ___\    sin\2*atan\2 - \/ 5 //      /      /      ___\\ 
(-2*atan\2 - \/ 5 /, - ---------------------- + cos\2*atan\2 - \/ 5 //)
                                 2                                     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (2 + \sqrt{5} \right )}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{5} + 2 \right )}$$
Убывает на промежутках

[-2*atan(2 + sqrt(5)), -2*atan(-sqrt(5) + 2)]

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*atan(2 + sqrt(5))] U [-2*atan(-sqrt(5) + 2), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2*atan(-sqrt(5)/2 + 1/2)] U [2*atan(1/2 + sqrt(5)/2), oo)

Выпуклая на промежутках

[2*atan(-sqrt(5)/2 + 1/2), 2*atan(1/2 + sqrt(5)/2)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/2 + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \left(-1 \sin{\left (x \right )}\right) - \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной