График функции y = sin(x)/sin(|x|)

Вы ввели

        sin(x) 
f(x) = --------
       sin(|x|)

$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/sin(|x|).
$$\frac{\sin{\left(0 \right)}}{\sin{\left(\left|{0}\right| \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 90$$
$$x_{2} = -42.25$$
$$x_{3} = 100.25$$
$$x_{4} = 94$$
$$x_{5} = 54$$
$$x_{6} = -15.75$$
$$x_{7} = -30$$
$$x_{8} = 12$$
$$x_{9} = -50$$
$$x_{10} = -99.75$$
$$x_{11} = -64$$
$$x_{12} = 62$$
$$x_{13} = -2$$
$$x_{14} = 52$$
$$x_{15} = 74$$
$$x_{16} = 68$$
$$x_{17} = 40$$
$$x_{18} = 38.25$$
$$x_{19} = 8.25$$
$$x_{20} = 28$$
$$x_{21} = 46.25$$
$$x_{22} = 86.5$$
$$x_{23} = 20$$
$$x_{24} = 22.2424242424242$$
$$x_{25} = -76$$
$$x_{26} = -72$$
$$x_{27} = -66$$
$$x_{28} = 72$$
$$x_{29} = 44.25$$
$$x_{30} = 24.25$$
$$x_{31} = 66$$
$$x_{32} = -37.75$$
$$x_{33} = -70$$
$$x_{34} = -59.75$$
$$x_{35} = -56$$
$$x_{36} = -10$$
$$x_{37} = -32$$
$$x_{38} = 82.25$$
$$x_{39} = -12$$
$$x_{40} = -43.7777777777778$$
$$x_{41} = 98$$
$$x_{42} = -26$$
$$x_{43} = 14$$
$$x_{44} = -23.4833333333333$$
$$x_{45} = 26$$
$$x_{46} = -62$$
$$x_{47} = -91.75$$
$$x_{48} = -90$$
$$x_{49} = 92.1666666666667$$
$$x_{50} = -52$$
$$x_{51} = 16.1666666666667$$
$$x_{52} = -81.95$$
$$x_{53} = -94$$
$$x_{54} = -4$$
$$x_{55} = -28$$
$$x_{56} = -80$$
$$x_{57} = 5.96428571428571$$
$$x_{58} = 96$$
$$x_{59} = -33.5$$
$$x_{60} = -54$$
$$x_{61} = -68$$
$$x_{62} = 4$$
$$x_{63} = -48$$
$$x_{64} = 10$$
$$x_{65} = 76$$
$$x_{66} = -21.75$$
$$x_{67} = -74$$
$$x_{68} = 60.25$$
$$x_{69} = 48$$
$$x_{70} = -14$$
$$x_{71} = -96$$
$$x_{72} = -85.75$$
$$x_{73} = -36$$
$$x_{74} = 64$$
$$x_{75} = 78.25$$
$$x_{76} = 88$$
$$x_{77} = -5.5$$
$$x_{78} = 18$$
$$x_{79} = -7.75$$
$$x_{80} = -18$$
$$x_{81} = 70$$
$$x_{82} = 36$$
$$x_{83} = -58$$
$$x_{84} = 2$$
$$x_{85} = -77.75$$
$$x_{86} = -20$$
$$x_{87} = -98$$
$$x_{88} = -84$$
$$x_{89} = 34.0833333333333$$
$$x_{90} = 80$$
$$x_{91} = 56$$
$$x_{92} = 30$$
$$x_{93} = -45.7$$
$$x_{94} = 58$$
$$x_{95} = 42.25$$
$$x_{96} = -40$$
$$x_{97} = 84$$
$$x_{98} = 50$$
$$x_{99} = -88$$
$$x_{100} = 32$$
Зн. экстремумы в точках:

(90, 1)

(-42.25, -1)

(100.25, 1)

(94, 1)

(54, 1)

(-15.75, -1)

(-30, -1)

(12, 1)

(-50, -1)

(-99.75, -1)

(-64, -1)

(62, 1)

(-2, -1)

(52, 1)

(74, 1)

(68, 1)

(40, 1)

(38.25, 1)

(8.25, 1)

(28, 1)

(46.25, 1)

(86.5, 1)

(20, 1)

(22.2424242424242, 1)

(-76, -1)

(-72, -1)

(-66, -1)

(72, 1)

(44.25, 1)

(24.25, 1)

(66, 1)

(-37.75, -1)

(-70, -1)

(-59.75, -1)

(-56, -1)

(-10, -1)

(-32, -1)

(82.25, 1)

(-12, -1)

(-43.7777777777778, -1)

(98, 1)

(-26, -1)

(14, 1)

(-23.4833333333333, -1)

(26, 1)

(-62, -1)

(-91.75, -1)

(-90, -1)

(92.1666666666667, 1)

(-52, -1)

(16.1666666666667, 1)

(-81.95, -1)

(-94, -1)

(-4, -1)

(-28, -1)

(-80, -1)

(5.96428571428571, 1)

(96, 1)

(-33.5, -1)

(-54, -1)

(-68, -1)

(4, 1)

(-48, -1)

(10, 1)

(76, 1)

(-21.75, -1)

(-74, -1)

(60.25, 1)

(48, 1)

(-14, -1)

(-96, -1)

(-85.75, -1)

(-36, -1)

(64, 1)

(78.25, 1)

(88, 1)

(-5.5, -1)

(18, 1)

(-7.75, -1)

(-18, -1)

(70, 1)

(36, 1)

(-58, -1)

(2, 1)

(-77.75, -1)

(-20, -1)

(-98, -1)

(-84, -1)

(34.0833333333333, 1)

(80, 1)

(56, 1)

(30, 1)

(-45.7, -1)

(58, 1)

(42.25, 1)

(-40, -1)

(84, 1)

(50, 1)

(-88, -1)

(32, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 94$$
$$x_{2} = 74$$
$$x_{3} = -70$$
$$x_{4} = 96$$
$$x_{5} = -33.5$$
$$x_{6} = 4$$
$$x_{7} = -36$$
$$x_{8} = 58$$
$$x_{9} = 32$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{9} = -32$$
$$x_{9} = -94$$
$$x_{9} = -4$$
$$x_{9} = -74$$
$$x_{9} = -96$$
$$x_{9} = -7.75$$
$$x_{9} = 70$$
$$x_{9} = 36$$
$$x_{9} = -58$$
Убывает на промежутках
$$\left[96, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -70\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График