График функции y = (sin(x))/x

Вы ввели

       sin(x)
f(x) = ------
         x   

$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -223.053078404875$$
$$x_{2} = -100.530964914873$$
$$x_{3} = -370.707933123596$$
$$x_{4} = -78.5398163397448$$
$$x_{5} = 97.3893722612836$$
$$x_{6} = 18.8495559215388$$
$$x_{7} = -94.2477796076938$$
$$x_{8} = -65.9734457253857$$
$$x_{9} = -56.5486677646163$$
$$x_{10} = 56.5486677646163$$
$$x_{11} = 6.28318530717959$$
$$x_{12} = -69.1150383789755$$
$$x_{13} = 78.5398163397448$$
$$x_{14} = -3.14159265358979$$
$$x_{15} = -21.9911485751286$$
$$x_{16} = 81.6814089933346$$
$$x_{17} = -91.106186954104$$
$$x_{18} = -62.8318530717959$$
$$x_{19} = -31.4159265358979$$
$$x_{20} = -113.097335529233$$
$$x_{21} = 62.8318530717959$$
$$x_{22} = 84.8230016469244$$
$$x_{23} = 72.2566310325652$$
$$x_{24} = 91.106186954104$$
$$x_{25} = -18.8495559215388$$
$$x_{26} = -9.42477796076938$$
$$x_{27} = 28.2743338823081$$
$$x_{28} = 43.9822971502571$$
$$x_{29} = -6.28318530717959$$
$$x_{30} = -34.5575191894877$$
$$x_{31} = -59.6902604182061$$
$$x_{32} = -53.4070751110265$$
$$x_{33} = 153.9380400259$$
$$x_{34} = 87.9645943005142$$
$$x_{35} = 69.1150383789755$$
$$x_{36} = -75.398223686155$$
$$x_{37} = 75.398223686155$$
$$x_{38} = -84.8230016469244$$
$$x_{39} = 100.530964914873$$
$$x_{40} = -37.6991118430775$$
$$x_{41} = 94.2477796076938$$
$$x_{42} = 21.9911485751286$$
$$x_{43} = -87.9645943005142$$
$$x_{44} = 3.14159265358979$$
$$x_{45} = -25.1327412287183$$
$$x_{46} = 590.619418874881$$
$$x_{47} = 50.2654824574367$$
$$x_{48} = -43.9822971502571$$
$$x_{49} = 65.9734457253857$$
$$x_{50} = 9.42477796076938$$
$$x_{51} = 40.8407044966673$$
$$x_{52} = 37.6991118430775$$
$$x_{53} = -28.2743338823081$$
$$x_{54} = 53.4070751110265$$
$$x_{55} = -40.8407044966673$$
$$x_{56} = 47.1238898038469$$
$$x_{57} = -50.2654824574367$$
$$x_{58} = -97.3893722612836$$
$$x_{59} = 15.707963267949$$
$$x_{60} = 25.1327412287183$$
$$x_{61} = -12.5663706143592$$
$$x_{62} = 31.4159265358979$$
$$x_{63} = 12.5663706143592$$
$$x_{64} = 59.6902604182061$$
$$x_{65} = -15.707963267949$$
$$x_{66} = -81.6814089933346$$
$$x_{67} = -72.2566310325652$$
$$x_{68} = 34.5575191894877$$
$$x_{69} = -47.1238898038469$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/x.
$$\frac{\sin{\left(0 \right)}}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 23.519452498689$$
$$x_{2} = -394.267341680887$$
$$x_{3} = -42.3879135681319$$
$$x_{4} = 14.0661939128315$$
$$x_{5} = -98.9500628243319$$
$$x_{6} = -54.9596782878889$$
$$x_{7} = -32.9563890398225$$
$$x_{8} = 67.5294347771441$$
$$x_{9} = 39.2444323611642$$
$$x_{10} = 48.6741442319544$$
$$x_{11} = 83.2401924707234$$
$$x_{12} = 73.8138806006806$$
$$x_{13} = 4.49340945790906$$
$$x_{14} = -4.49340945790906$$
$$x_{15} = 26.6660542588127$$
$$x_{16} = -83.2401924707234$$
$$x_{17} = -39.2444323611642$$
$$x_{18} = -45.5311340139913$$
$$x_{19} = -36.1006222443756$$
$$x_{20} = 61.2447302603744$$
$$x_{21} = 17.2207552719308$$
$$x_{22} = 20.3713029592876$$
$$x_{23} = 70.6716857116195$$
$$x_{24} = 7.72525183693771$$
$$x_{25} = 32.9563890398225$$
$$x_{26} = -14.0661939128315$$
$$x_{27} = -20.3713029592876$$
$$x_{28} = -89.5242209304172$$
$$x_{29} = -64.3871195905574$$
$$x_{30} = -58.1022547544956$$
$$x_{31} = -51.8169824872797$$
$$x_{32} = -7.72525183693771$$
$$x_{33} = -86.3822220347287$$
$$x_{34} = 89.5242209304172$$
$$x_{35} = -48.6741442319544$$
$$x_{36} = 58.1022547544956$$
$$x_{37} = -73.8138806006806$$
$$x_{38} = -70.6716857116195$$
$$x_{39} = -95.8081387868617$$
$$x_{40} = 76.9560263103312$$
$$x_{41} = 80.0981286289451$$
$$x_{42} = -10.9041216594289$$
$$x_{43} = 98.9500628243319$$
$$x_{44} = 108.375719651675$$
$$x_{45} = 54.9596782878889$$
$$x_{46} = -76.9560263103312$$
$$x_{47} = 92.6661922776228$$
$$x_{48} = 45.5311340139913$$
$$x_{49} = 10.9041216594289$$
$$x_{50} = -67.5294347771441$$
$$x_{51} = 64.3871195905574$$
$$x_{52} = -17.2207552719308$$
$$x_{53} = -29.811598790893$$
$$x_{54} = 86.3822220347287$$
$$x_{55} = -61.2447302603744$$
$$x_{56} = 42.3879135681319$$
$$x_{57} = -92.6661922776228$$
$$x_{58} = 36.1006222443756$$
$$x_{59} = -4355.81798462425$$
$$x_{60} = 29.811598790893$$
$$x_{61} = 51.8169824872797$$
$$x_{62} = -80.0981286289451$$
$$x_{63} = -23.519452498689$$
$$x_{64} = 95.8081387868617$$
$$x_{65} = -26.6660542588127$$
Зн. экстремумы в точках:

(23.519452498689, -0.0424796169776126)

(-394.267341680887, -0.00253634191261283)

(-42.3879135681319, -0.0235850682290164)

(14.0661939128315, 0.0709134594504622)

(-98.9500628243319, -0.010105591736504)

(-54.9596782878889, -0.0181921463218031)

(-32.9563890398225, 0.0303291711863103)

(67.5294347771441, -0.0148067339465492)

(39.2444323611642, 0.0254730530928808)

(48.6741442319544, -0.0205404540417537)

(83.2401924707234, 0.0120125604820527)

(73.8138806006806, -0.01354634434514)

(4.49340945790906, -0.217233628211222)

(-4.49340945790906, -0.217233628211222)

(26.6660542588127, 0.0374745199939312)

(-83.2401924707234, 0.0120125604820527)

(-39.2444323611642, 0.0254730530928808)

(-45.5311340139913, 0.0219576982284824)

(-36.1006222443756, -0.0276897323011492)

(61.2447302603744, -0.0163257593209978)

(17.2207552719308, -0.0579718023461539)

(20.3713029592876, 0.0490296240140742)

(70.6716857116195, 0.0141485220648664)

(7.72525183693771, 0.128374553525899)

(32.9563890398225, 0.0303291711863103)

(-14.0661939128315, 0.0709134594504622)

(-20.3713029592876, 0.0490296240140742)

(-89.5242209304172, 0.0111694646341736)

(-64.3871195905574, 0.0155291838074613)

(-58.1022547544956, 0.0172084874716279)

(-51.8169824872797, 0.019295099487588)

(-7.72525183693771, 0.128374553525899)

(-86.3822220347287, -0.0115756804584678)

(89.5242209304172, 0.0111694646341736)

(-48.6741442319544, -0.0205404540417537)

(58.1022547544956, 0.0172084874716279)

(-73.8138806006806, -0.01354634434514)

(-70.6716857116195, 0.0141485220648664)

(-95.8081387868617, 0.0104369581345658)

(76.9560263103312, 0.0129933369870427)

(80.0981286289451, -0.012483713321779)

(-10.9041216594289, -0.0913252028230577)

(98.9500628243319, -0.010105591736504)

(108.375719651675, 0.00922676625078197)

(54.9596782878889, -0.0181921463218031)

(-76.9560263103312, 0.0129933369870427)

(92.6661922776228, -0.0107907938495342)

(45.5311340139913, 0.0219576982284824)

(10.9041216594289, -0.0913252028230577)

(-67.5294347771441, -0.0148067339465492)

(64.3871195905574, 0.0155291838074613)

(-17.2207552719308, -0.0579718023461539)

(-29.811598790893, -0.0335251350213988)

(86.3822220347287, -0.0115756804584678)

(-61.2447302603744, -0.0163257593209978)

(42.3879135681319, -0.0235850682290164)

(-92.6661922776228, -0.0107907938495342)

(36.1006222443756, -0.0276897323011492)

(-4355.81798462425, 0.000229577998248987)

(29.811598790893, -0.0335251350213988)

(51.8169824872797, 0.019295099487588)

(-80.0981286289451, -0.012483713321779)

(-23.519452498689, -0.0424796169776126)

(95.8081387868617, 0.0104369581345658)

(-26.6660542588127, 0.0374745199939312)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 23.519452498689$$
$$x_{2} = -394.267341680887$$
$$x_{3} = -42.3879135681319$$
$$x_{4} = -98.9500628243319$$
$$x_{5} = -54.9596782878889$$
$$x_{6} = 67.5294347771441$$
$$x_{7} = 48.6741442319544$$
$$x_{8} = 73.8138806006806$$
$$x_{9} = 4.49340945790906$$
$$x_{10} = -4.49340945790906$$
$$x_{11} = -36.1006222443756$$
$$x_{12} = 61.2447302603744$$
$$x_{13} = 17.2207552719308$$
$$x_{14} = -86.3822220347287$$
$$x_{15} = -48.6741442319544$$
$$x_{16} = -73.8138806006806$$
$$x_{17} = 80.0981286289451$$
$$x_{18} = -10.9041216594289$$
$$x_{19} = 98.9500628243319$$
$$x_{20} = 54.9596782878889$$
$$x_{21} = 92.6661922776228$$
$$x_{22} = 10.9041216594289$$
$$x_{23} = -67.5294347771441$$
$$x_{24} = -17.2207552719308$$
$$x_{25} = -29.811598790893$$
$$x_{26} = 86.3822220347287$$
$$x_{27} = -61.2447302603744$$
$$x_{28} = 42.3879135681319$$
$$x_{29} = -92.6661922776228$$
$$x_{30} = 36.1006222443756$$
$$x_{31} = 29.811598790893$$
$$x_{32} = -80.0981286289451$$
$$x_{33} = -23.519452498689$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = 14.0661939128315$$
$$x_{33} = -32.9563890398225$$
$$x_{33} = 39.2444323611642$$
$$x_{33} = 83.2401924707234$$
$$x_{33} = 26.6660542588127$$
$$x_{33} = -83.2401924707234$$
$$x_{33} = -39.2444323611642$$
$$x_{33} = -45.5311340139913$$
$$x_{33} = 20.3713029592876$$
$$x_{33} = 70.6716857116195$$
$$x_{33} = 7.72525183693771$$
$$x_{33} = 32.9563890398225$$
$$x_{33} = -14.0661939128315$$
$$x_{33} = -20.3713029592876$$
$$x_{33} = -89.5242209304172$$
$$x_{33} = -64.3871195905574$$
$$x_{33} = -58.1022547544956$$
$$x_{33} = -51.8169824872797$$
$$x_{33} = -7.72525183693771$$
$$x_{33} = 89.5242209304172$$
$$x_{33} = 58.1022547544956$$
$$x_{33} = -70.6716857116195$$
$$x_{33} = -95.8081387868617$$
$$x_{33} = 76.9560263103312$$
$$x_{33} = 108.375719651675$$
$$x_{33} = -76.9560263103312$$
$$x_{33} = 45.5311340139913$$
$$x_{33} = 64.3871195905574$$
$$x_{33} = -4355.81798462425$$
$$x_{33} = 51.8169824872797$$
$$x_{33} = 95.8081387868617$$
$$x_{33} = -26.6660542588127$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9500628243319, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -394.267341680887\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -69.0860849466452$$
$$x_{2} = 84.7994143922025$$
$$x_{3} = 37.6459603230864$$
$$x_{4} = -65.9431119046552$$
$$x_{5} = 69.0860849466452$$
$$x_{6} = 31.3520917265645$$
$$x_{7} = 78.5143405319308$$
$$x_{8} = 12.404445021902$$
$$x_{9} = -47.0813974121542$$
$$x_{10} = -100.511065295271$$
$$x_{11} = -50.2256516491831$$
$$x_{12} = 40.7916552312719$$
$$x_{13} = 131.931731514843$$
$$x_{14} = -97.368830362901$$
$$x_{15} = -342.42775856009$$
$$x_{16} = -53.3695918204908$$
$$x_{17} = 65.9431119046552$$
$$x_{18} = -56.5132704621986$$
$$x_{19} = 59.6567290035279$$
$$x_{20} = -5.94036999057271$$
$$x_{21} = 43.9367614714198$$
$$x_{22} = -43.9367614714198$$
$$x_{23} = 18.7426455847748$$
$$x_{24} = -1288.05143523817$$
$$x_{25} = 91.0842274914688$$
$$x_{26} = 9.20584014293667$$
$$x_{27} = 34.499514921367$$
$$x_{28} = -1790.70669566846$$
$$x_{29} = -2.0815759778181$$
$$x_{30} = 87.9418500396598$$
$$x_{31} = -21.8996964794928$$
$$x_{32} = 50.2256516491831$$
$$x_{33} = -18.7426455847748$$
$$x_{34} = -40.7916552312719$$
$$x_{35} = -91.0842274914688$$
$$x_{36} = 72.2289377620154$$
$$x_{37} = 5.94036999057271$$
$$x_{38} = -78.5143405319308$$
$$x_{39} = 47.0813974121542$$
$$x_{40} = 15.5792364103872$$
$$x_{41} = -72.2289377620154$$
$$x_{42} = 94.2265525745684$$
$$x_{43} = 100.511065295271$$
$$x_{44} = 62.8000005565198$$
$$x_{45} = 28.2033610039524$$
$$x_{46} = -84.7994143922025$$
$$x_{47} = -94.2265525745684$$
$$x_{48} = -34.499514921367$$
$$x_{49} = -25.052825280993$$
$$x_{50} = -28.2033610039524$$
$$x_{51} = 81.6569138240367$$
$$x_{52} = 56.5132704621986$$
$$x_{53} = -87.9418500396598$$
$$x_{54} = -15.5792364103872$$
$$x_{55} = -12.404445021902$$
$$x_{56} = 53.3695918204908$$
$$x_{57} = 2.0815759778181$$
$$x_{58} = -59.6567290035279$$
$$x_{59} = -62.8000005565198$$
$$x_{60} = 25.052825280993$$
$$x_{61} = 97.368830362901$$
$$x_{62} = 21.8996964794928$$
$$x_{63} = -9.20584014293667$$
$$x_{64} = -31.3520917265645$$
$$x_{65} = -75.3716854092873$$
$$x_{66} = -37.6459603230864$$
$$x_{67} = -81.6569138240367$$
$$x_{68} = 75.3716854092873$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = - \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = - \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[97.368830362901, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1790.70669566846\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График