График функции y = sin(x)/(x+1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       sin(x)
f(x) = ------
       x + 1 
f(x)=sin(x)x+1f{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1}
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020000.1-0.1
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin(x)x+1=0\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=94.2477796077x_{1} = -94.2477796077
x2=31.4159265359x_{2} = 31.4159265359
x3=81.6814089933x_{3} = 81.6814089933
x4=84.8230016469x_{4} = 84.8230016469
x5=53.407075111x_{5} = -53.407075111
x6=65.9734457254x_{6} = 65.9734457254
x7=3.14159265359x_{7} = 3.14159265359
x8=15.7079632679x_{8} = 15.7079632679
x9=100.530964915x_{9} = 100.530964915
x10=50.2654824574x_{10} = 50.2654824574
x11=3.14159265359x_{11} = -3.14159265359
x12=40.8407044967x_{12} = 40.8407044967
x13=59.6902604182x_{13} = -59.6902604182
x14=97.3893722613x_{14} = 97.3893722613
x15=78.5398163397x_{15} = 78.5398163397
x16=25.1327412287x_{16} = -25.1327412287
x17=43.9822971503x_{17} = -43.9822971503
x18=25.1327412287x_{18} = 25.1327412287
x19=81.6814089933x_{19} = -81.6814089933
x20=91.1061869541x_{20} = -91.1061869541
x21=87.9645943005x_{21} = 87.9645943005
x22=69.115038379x_{22} = 69.115038379
x23=34.5575191895x_{23} = -34.5575191895
x24=28.2743338823x_{24} = 28.2743338823
x25=31.4159265359x_{25} = -31.4159265359
x26=37.6991118431x_{26} = 37.6991118431
x27=28.2743338823x_{27} = -28.2743338823
x28=72.2566310326x_{28} = 72.2566310326
x29=56.5486677646x_{29} = 56.5486677646
x30=75.3982236862x_{30} = -75.3982236862
x31=69.115038379x_{31} = -69.115038379
x32=6.28318530718x_{32} = -6.28318530718
x33=9.42477796077x_{33} = -9.42477796077
x34=6.28318530718x_{34} = 6.28318530718
x35=75.3982236862x_{35} = 75.3982236862
x36=65.9734457254x_{36} = -65.9734457254
x37=87.9645943005x_{37} = -87.9645943005
x38=72.2566310326x_{38} = -72.2566310326
x39=18.8495559215x_{39} = 18.8495559215
x40=267.035375555x_{40} = -267.035375555
x41=84.8230016469x_{41} = -84.8230016469
x42=9.42477796077x_{42} = 9.42477796077
x43=50.2654824574x_{43} = -50.2654824574
x44=56.5486677646x_{44} = -56.5486677646
x45=232.477856366x_{45} = -232.477856366
x46=2642.07942167x_{46} = -2642.07942167
x47=91.1061869541x_{47} = 91.1061869541
x48=59.6902604182x_{48} = 59.6902604182
x49=47.1238898038x_{49} = -47.1238898038
x50=12.5663706144x_{50} = 12.5663706144
x51=62.8318530718x_{51} = -62.8318530718
x52=62.8318530718x_{52} = 62.8318530718
x53=18.8495559215x_{53} = -18.8495559215
x54=12.5663706144x_{54} = -12.5663706144
x55=37.6991118431x_{55} = -37.6991118431
x56=97.3893722613x_{56} = -97.3893722613
x57=94.2477796077x_{57} = 94.2477796077
x58=34.5575191895x_{58} = 34.5575191895
x59=21.9911485751x_{59} = -21.9911485751
x60=21.9911485751x_{60} = 21.9911485751
x61=100.530964915x_{61} = -100.530964915
x62=53.407075111x_{62} = 53.407075111
x63=113.097335529x_{63} = -113.097335529
x64=78.5398163397x_{64} = -78.5398163397
x65=0x_{65} = 0
x66=43.9822971503x_{66} = 43.9822971503
x67=40.8407044967x_{67} = -40.8407044967
x68=15.7079632679x_{68} = -15.7079632679
x69=47.1238898038x_{69} = 47.1238898038
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/(x + 1).
sin(0)
------
  1   

Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
cos(x)x+1sin(x)(x+1)2=0\frac{\cos{\left (x \right )}}{x + 1} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=54.9600034336x_{1} = 54.9600034336
x2=98.9501639358x_{2} = 98.9501639358
x3=80.0982825741x_{3} = 80.0982825741
x4=76.9558552316x_{4} = -76.9558552316
x5=76.9561929993x_{5} = 76.9561929993
x6=7.70595118435x_{6} = -7.70595118435
x7=48.6737132861x_{7} = -48.6737132861
x8=29.8104344913x_{8} = -29.8104344913
x9=70.6714826165x_{9} = -70.6714826165
x10=64.3868745705x_{10} = -64.3868745705
x11=70.6718831382x_{11} = 70.6718831382
x12=4.42859686541x_{12} = -4.42859686541
x13=51.8166027159x_{13} = -51.8166027159
x14=45.5316060156x_{14} = 45.5316060156
x15=73.8140616841x_{15} = 73.8140616841
x16=89.5240947483x_{16} = -89.5240947483
x17=45.5306408032x_{17} = -45.5306408032
x18=32.9572826073x_{18} = 32.9572826073
x19=54.9593410866x_{19} = -54.9593410866
x20=80.0979707907x_{20} = -80.0979707907
x21=42.3884572986x_{21} = 42.3884572986
x22=14.0607507548x_{22} = -14.0607507548
x23=67.529650864x_{23} = 67.529650864
x24=98.9499596481x_{24} = -98.9499596481
x25=73.8136945424x_{25} = -73.8136945424
x26=83.2400463931x_{26} = -83.2400463931
x27=67.5292121929x_{27} = -67.5292121929
x28=89.5243443244x_{28} = 89.5243443244
x29=29.8126874326x_{29} = 29.8126874326
x30=4.53360450162x_{30} = 4.53360450162
x31=32.955439495x_{31} = -32.955439495
x32=64.3873571144x_{32} = 64.3873571144
x33=10.8948536304x_{33} = -10.8948536304
x34=86.3823545152x_{34} = 86.3823545152
x35=17.2171745487x_{35} = -17.2171745487
x36=51.8173478727x_{36} = 51.8173478727
x37=83.2403350797x_{37} = 83.2403350797
x38=39.2437660743x_{38} = -39.2437660743
x39=1x_{39} = -1
x40=23.521186426x_{40} = 23.521186426
x41=61.2449925776x_{41} = 61.2449925776
x42=86.3820864506x_{42} = -86.3820864506
x43=61.2444592324x_{43} = -61.2444592324
x44=58.1025459608x_{44} = 58.1025459608
x45=14.0709110734x_{45} = 14.0709110734
x46=95.8082466034x_{46} = 95.8082466034
x47=1.13226772527x_{47} = 1.13226772527
x48=23.5175642862x_{48} = -23.5175642862
x49=20.3687685412x_{49} = -20.3687685412
x50=20.3735996513x_{50} = 20.3735996513
x51=95.8080286957x_{51} = -95.8080286957
x52=92.6660745523x_{52} = -92.6660745523
x53=10.9118204504x_{53} = 10.9118204504
x54=7.74006134564x_{54} = 7.74006134564
x55=36.1013688569x_{55} = 36.1013688569
x56=92.666307489x_{56} = 92.666307489
x57=42.3873435478x_{57} = -42.3873435478
x58=26.6674096744x_{58} = 26.6674096744
x59=36.0998330569x_{59} = -36.0998330569
x60=58.1019533456x_{60} = -58.1019533456
x61=26.6645930693x_{61} = -26.6645930693
x62=39.245065515x_{62} = 39.245065515
x63=17.2239416992x_{63} = 17.2239416992
x64=48.6745578197x_{64} = 48.6745578197
Зн. экстремумы в точках:
(54.9600034336, -0.0178670534330114)

(98.9501639358, -0.0100044853805955)

(80.0982825741, -0.0123297800352262)

(-76.9558552316, 0.0131644011178422)

(76.9561929993, 0.0128266619561237)

(-7.70595118435, 0.147490409443988)

(-48.6737132861, -0.0209713070168763)

(-29.8104344913, -0.0346887570981381)

(-70.6714826165, 0.014351596564099)

(-64.3868745705, 0.0157741738609847)

(70.6718831382, 0.0139511149237106)

(-4.42859686541, -0.279998085534244)

(-51.8166027159, 0.0196747987661075)

(45.5316060156, 0.0214858080128856)

(73.8140616841, -0.0133652773046089)

(-89.5240947483, 0.0112956388323449)

(-45.5306408032, 0.0224507873966093)

(32.9572826073, 0.0294360028315749)

(-54.9593410866, -0.0185292907181696)

(-80.0979707907, -0.0126415391261771)

(42.3884572986, -0.0230414855003745)

(-14.0607507548, 0.0763418368871013)

(67.529650864, -0.0145906704309162)

(-98.9499596481, -0.0102087626459196)

(-73.8136945424, -0.0137323852694885)

(-83.2400463931, 0.0121586273964131)

(-67.5292121929, -0.0150292934612251)

(89.5243443244, 0.0110460782420367)

(29.8126874326, -0.0324370855827002)

(4.53360450162, -0.177833558557402)

(-32.955439495, 0.0312782653330243)

(64.3873571144, 0.0152916881707175)

(-10.8948536304, -0.100550447576556)

(86.3823545152, -0.0114432087563988)

(-17.2171745487, -0.0615461242858119)

(51.8173478727, 0.0189297807617202)

(83.2403350797, 0.0118699616825748)

(-39.2437660743, 0.0261391180182751)

(-1, zoo)

(23.521186426, -0.0407471918750439)

(61.2449925776, -0.0160634764762972)

(-86.3820864506, -0.0117112553987014)

(-61.2444592324, -0.016596750592326)

(58.1025459608, 0.0169173235363655)

(14.0709110734, 0.0662074029872918)

(95.8082466034, 0.0103291474437141)

(1.13226772527, 0.424607754243884)

(-23.5175642862, -0.0443660481840196)

(-20.3687685412, 0.0515608337948906)

(20.3735996513, 0.0467355668998296)

(-95.8080286957, 0.0105470432425303)

(-92.6660745523, -0.0109085122854225)

(10.9118204504, -0.0836559534542903)

(7.74006134564, 0.113674041782936)

(36.1013688569, -0.0269433983581047)

(92.666307489, -0.0106755891321149)

(-42.3873435478, -0.0241549261563828)

(26.6674096744, 0.0361200224684724)

(-36.0998330569, -0.0284786084467854)

(-58.1019533456, 0.0175098509285069)

(-26.6645930693, 0.0389346426276655)

(39.245065515, 0.0248400996327527)

(17.2239416992, -0.054790445001351)

(48.6745578197, -0.0201269518294962)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x64=54.9600034336x_{64} = 54.9600034336
x64=98.9501639358x_{64} = 98.9501639358
x64=80.0982825741x_{64} = 80.0982825741
x64=48.6737132861x_{64} = -48.6737132861
x64=29.8104344913x_{64} = -29.8104344913
x64=4.42859686541x_{64} = -4.42859686541
x64=73.8140616841x_{64} = 73.8140616841
x64=54.9593410866x_{64} = -54.9593410866
x64=80.0979707907x_{64} = -80.0979707907
x64=42.3884572986x_{64} = 42.3884572986
x64=67.529650864x_{64} = 67.529650864
x64=98.9499596481x_{64} = -98.9499596481
x64=73.8136945424x_{64} = -73.8136945424
x64=67.5292121929x_{64} = -67.5292121929
x64=29.8126874326x_{64} = 29.8126874326
x64=4.53360450162x_{64} = 4.53360450162
x64=10.8948536304x_{64} = -10.8948536304
x64=86.3823545152x_{64} = 86.3823545152
x64=17.2171745487x_{64} = -17.2171745487
x64=23.521186426x_{64} = 23.521186426
x64=61.2449925776x_{64} = 61.2449925776
x64=86.3820864506x_{64} = -86.3820864506
x64=61.2444592324x_{64} = -61.2444592324
x64=23.5175642862x_{64} = -23.5175642862
x64=92.6660745523x_{64} = -92.6660745523
x64=10.9118204504x_{64} = 10.9118204504
x64=36.1013688569x_{64} = 36.1013688569
x64=92.666307489x_{64} = 92.666307489
x64=42.3873435478x_{64} = -42.3873435478
x64=36.0998330569x_{64} = -36.0998330569
x64=17.2239416992x_{64} = 17.2239416992
x64=48.6745578197x_{64} = 48.6745578197
Максимумы функции в точках:
x64=76.9558552316x_{64} = -76.9558552316
x64=76.9561929993x_{64} = 76.9561929993
x64=7.70595118435x_{64} = -7.70595118435
x64=70.6714826165x_{64} = -70.6714826165
x64=64.3868745705x_{64} = -64.3868745705
x64=70.6718831382x_{64} = 70.6718831382
x64=51.8166027159x_{64} = -51.8166027159
x64=45.5316060156x_{64} = 45.5316060156
x64=89.5240947483x_{64} = -89.5240947483
x64=45.5306408032x_{64} = -45.5306408032
x64=32.9572826073x_{64} = 32.9572826073
x64=14.0607507548x_{64} = -14.0607507548
x64=83.2400463931x_{64} = -83.2400463931
x64=89.5243443244x_{64} = 89.5243443244
x64=32.955439495x_{64} = -32.955439495
x64=64.3873571144x_{64} = 64.3873571144
x64=51.8173478727x_{64} = 51.8173478727
x64=83.2403350797x_{64} = 83.2403350797
x64=39.2437660743x_{64} = -39.2437660743
x64=58.1025459608x_{64} = 58.1025459608
x64=14.0709110734x_{64} = 14.0709110734
x64=95.8082466034x_{64} = 95.8082466034
x64=1.13226772527x_{64} = 1.13226772527
x64=20.3687685412x_{64} = -20.3687685412
x64=20.3735996513x_{64} = 20.3735996513
x64=95.8080286957x_{64} = -95.8080286957
x64=7.74006134564x_{64} = 7.74006134564
x64=26.6674096744x_{64} = 26.6674096744
x64=58.1019533456x_{64} = -58.1019533456
x64=26.6645930693x_{64} = -26.6645930693
x64=39.245065515x_{64} = 39.245065515
Убывает на промежутках
[98.9501639358, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -98.9499596481]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x+1(sin(x)2cos(x)x+1+2sin(x)(x+1)2)=0\frac{1}{x + 1} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x + 1} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = -1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(sin(x)x+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(sin(x)x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(sin(x)x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(sin(x)x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin(x)x+1=sin(x)x+1\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1} = - \frac{\sin{\left (x \right )}}{- x + 1}
- Нет
sin(x)x+1=1sin(x)x+1\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1} = - \frac{-1 \sin{\left (x \right )}}{- x + 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной