График функции y = sin(x)/(x+1)

Вы ввели

       sin(x)
f(x) = ------
       x + 1 

$$f{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 65.9734457254$$
$$x_{7} = 3.14159265359$$
$$x_{8} = 15.7079632679$$
$$x_{9} = 100.530964915$$
$$x_{10} = 50.2654824574$$
$$x_{11} = -3.14159265359$$
$$x_{12} = 40.8407044967$$
$$x_{13} = -59.6902604182$$
$$x_{14} = 97.3893722613$$
$$x_{15} = 78.5398163397$$
$$x_{16} = -25.1327412287$$
$$x_{17} = -43.9822971503$$
$$x_{18} = 25.1327412287$$
$$x_{19} = -81.6814089933$$
$$x_{20} = -91.1061869541$$
$$x_{21} = 87.9645943005$$
$$x_{22} = 69.115038379$$
$$x_{23} = -34.5575191895$$
$$x_{24} = 28.2743338823$$
$$x_{25} = -31.4159265359$$
$$x_{26} = 37.6991118431$$
$$x_{27} = -28.2743338823$$
$$x_{28} = 72.2566310326$$
$$x_{29} = 56.5486677646$$
$$x_{30} = -75.3982236862$$
$$x_{31} = -69.115038379$$
$$x_{32} = -6.28318530718$$
$$x_{33} = -9.42477796077$$
$$x_{34} = 6.28318530718$$
$$x_{35} = 75.3982236862$$
$$x_{36} = -65.9734457254$$
$$x_{37} = -87.9645943005$$
$$x_{38} = -72.2566310326$$
$$x_{39} = 18.8495559215$$
$$x_{40} = -267.035375555$$
$$x_{41} = -84.8230016469$$
$$x_{42} = 9.42477796077$$
$$x_{43} = -50.2654824574$$
$$x_{44} = -56.5486677646$$
$$x_{45} = -232.477856366$$
$$x_{46} = -2642.07942167$$
$$x_{47} = 91.1061869541$$
$$x_{48} = 59.6902604182$$
$$x_{49} = -47.1238898038$$
$$x_{50} = 12.5663706144$$
$$x_{51} = -62.8318530718$$
$$x_{52} = 62.8318530718$$
$$x_{53} = -18.8495559215$$
$$x_{54} = -12.5663706144$$
$$x_{55} = -37.6991118431$$
$$x_{56} = -97.3893722613$$
$$x_{57} = 94.2477796077$$
$$x_{58} = 34.5575191895$$
$$x_{59} = -21.9911485751$$
$$x_{60} = 21.9911485751$$
$$x_{61} = -100.530964915$$
$$x_{62} = 53.407075111$$
$$x_{63} = -113.097335529$$
$$x_{64} = -78.5398163397$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{66} = 43.9822971503$$
$$x_{67} = -40.8407044967$$
$$x_{68} = -15.7079632679$$
$$x_{69} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/(x + 1).

sin(0)
------
  1   

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{x + 1} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 54.9600034336$$
$$x_{2} = 98.9501639358$$
$$x_{3} = 80.0982825741$$
$$x_{4} = -76.9558552316$$
$$x_{5} = 76.9561929993$$
$$x_{6} = -7.70595118435$$
$$x_{7} = -48.6737132861$$
$$x_{8} = -29.8104344913$$
$$x_{9} = -70.6714826165$$
$$x_{10} = -64.3868745705$$
$$x_{11} = 70.6718831382$$
$$x_{12} = -4.42859686541$$
$$x_{13} = -51.8166027159$$
$$x_{14} = 45.5316060156$$
$$x_{15} = 73.8140616841$$
$$x_{16} = -89.5240947483$$
$$x_{17} = -45.5306408032$$
$$x_{18} = 32.9572826073$$
$$x_{19} = -54.9593410866$$
$$x_{20} = -80.0979707907$$
$$x_{21} = 42.3884572986$$
$$x_{22} = -14.0607507548$$
$$x_{23} = 67.529650864$$
$$x_{24} = -98.9499596481$$
$$x_{25} = -73.8136945424$$
$$x_{26} = -83.2400463931$$
$$x_{27} = -67.5292121929$$
$$x_{28} = 89.5243443244$$
$$x_{29} = 29.8126874326$$
$$x_{30} = 4.53360450162$$
$$x_{31} = -32.955439495$$
$$x_{32} = 64.3873571144$$
$$x_{33} = -10.8948536304$$
$$x_{34} = 86.3823545152$$
$$x_{35} = -17.2171745487$$
$$x_{36} = 51.8173478727$$
$$x_{37} = 83.2403350797$$
$$x_{38} = -39.2437660743$$
$$x_{39} = -1$$
$$x_{40} = 23.521186426$$
$$x_{41} = 61.2449925776$$
$$x_{42} = -86.3820864506$$
$$x_{43} = -61.2444592324$$
$$x_{44} = 58.1025459608$$
$$x_{45} = 14.0709110734$$
$$x_{46} = 95.8082466034$$
$$x_{47} = 1.13226772527$$
$$x_{48} = -23.5175642862$$
$$x_{49} = -20.3687685412$$
$$x_{50} = 20.3735996513$$
$$x_{51} = -95.8080286957$$
$$x_{52} = -92.6660745523$$
$$x_{53} = 10.9118204504$$
$$x_{54} = 7.74006134564$$
$$x_{55} = 36.1013688569$$
$$x_{56} = 92.666307489$$
$$x_{57} = -42.3873435478$$
$$x_{58} = 26.6674096744$$
$$x_{59} = -36.0998330569$$
$$x_{60} = -58.1019533456$$
$$x_{61} = -26.6645930693$$
$$x_{62} = 39.245065515$$
$$x_{63} = 17.2239416992$$
$$x_{64} = 48.6745578197$$
Зн. экстремумы в точках:

(54.9600034336, -0.0178670534330114)

(98.9501639358, -0.0100044853805955)

(80.0982825741, -0.0123297800352262)

(-76.9558552316, 0.0131644011178422)

(76.9561929993, 0.0128266619561237)

(-7.70595118435, 0.147490409443988)

(-48.6737132861, -0.0209713070168763)

(-29.8104344913, -0.0346887570981381)

(-70.6714826165, 0.014351596564099)

(-64.3868745705, 0.0157741738609847)

(70.6718831382, 0.0139511149237106)

(-4.42859686541, -0.279998085534244)

(-51.8166027159, 0.0196747987661075)

(45.5316060156, 0.0214858080128856)

(73.8140616841, -0.0133652773046089)

(-89.5240947483, 0.0112956388323449)

(-45.5306408032, 0.0224507873966093)

(32.9572826073, 0.0294360028315749)

(-54.9593410866, -0.0185292907181696)

(-80.0979707907, -0.0126415391261771)

(42.3884572986, -0.0230414855003745)

(-14.0607507548, 0.0763418368871013)

(67.529650864, -0.0145906704309162)

(-98.9499596481, -0.0102087626459196)

(-73.8136945424, -0.0137323852694885)

(-83.2400463931, 0.0121586273964131)

(-67.5292121929, -0.0150292934612251)

(89.5243443244, 0.0110460782420367)

(29.8126874326, -0.0324370855827002)

(4.53360450162, -0.177833558557402)

(-32.955439495, 0.0312782653330243)

(64.3873571144, 0.0152916881707175)

(-10.8948536304, -0.100550447576556)

(86.3823545152, -0.0114432087563988)

(-17.2171745487, -0.0615461242858119)

(51.8173478727, 0.0189297807617202)

(83.2403350797, 0.0118699616825748)

(-39.2437660743, 0.0261391180182751)

(-1, zoo)

(23.521186426, -0.0407471918750439)

(61.2449925776, -0.0160634764762972)

(-86.3820864506, -0.0117112553987014)

(-61.2444592324, -0.016596750592326)

(58.1025459608, 0.0169173235363655)

(14.0709110734, 0.0662074029872918)

(95.8082466034, 0.0103291474437141)

(1.13226772527, 0.424607754243884)

(-23.5175642862, -0.0443660481840196)

(-20.3687685412, 0.0515608337948906)

(20.3735996513, 0.0467355668998296)

(-95.8080286957, 0.0105470432425303)

(-92.6660745523, -0.0109085122854225)

(10.9118204504, -0.0836559534542903)

(7.74006134564, 0.113674041782936)

(36.1013688569, -0.0269433983581047)

(92.666307489, -0.0106755891321149)

(-42.3873435478, -0.0241549261563828)

(26.6674096744, 0.0361200224684724)

(-36.0998330569, -0.0284786084467854)

(-58.1019533456, 0.0175098509285069)

(-26.6645930693, 0.0389346426276655)

(39.245065515, 0.0248400996327527)

(17.2239416992, -0.054790445001351)

(48.6745578197, -0.0201269518294962)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{64} = 54.9600034336$$
$$x_{64} = 98.9501639358$$
$$x_{64} = 80.0982825741$$
$$x_{64} = -48.6737132861$$
$$x_{64} = -29.8104344913$$
$$x_{64} = -4.42859686541$$
$$x_{64} = 73.8140616841$$
$$x_{64} = -54.9593410866$$
$$x_{64} = -80.0979707907$$
$$x_{64} = 42.3884572986$$
$$x_{64} = 67.529650864$$
$$x_{64} = -98.9499596481$$
$$x_{64} = -73.8136945424$$
$$x_{64} = -67.5292121929$$
$$x_{64} = 29.8126874326$$
$$x_{64} = 4.53360450162$$
$$x_{64} = -10.8948536304$$
$$x_{64} = 86.3823545152$$
$$x_{64} = -17.2171745487$$
$$x_{64} = 23.521186426$$
$$x_{64} = 61.2449925776$$
$$x_{64} = -86.3820864506$$
$$x_{64} = -61.2444592324$$
$$x_{64} = -23.5175642862$$
$$x_{64} = -92.6660745523$$
$$x_{64} = 10.9118204504$$
$$x_{64} = 36.1013688569$$
$$x_{64} = 92.666307489$$
$$x_{64} = -42.3873435478$$
$$x_{64} = -36.0998330569$$
$$x_{64} = 17.2239416992$$
$$x_{64} = 48.6745578197$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{64} = -76.9558552316$$
$$x_{64} = 76.9561929993$$
$$x_{64} = -7.70595118435$$
$$x_{64} = -70.6714826165$$
$$x_{64} = -64.3868745705$$
$$x_{64} = 70.6718831382$$
$$x_{64} = -51.8166027159$$
$$x_{64} = 45.5316060156$$
$$x_{64} = -89.5240947483$$
$$x_{64} = -45.5306408032$$
$$x_{64} = 32.9572826073$$
$$x_{64} = -14.0607507548$$
$$x_{64} = -83.2400463931$$
$$x_{64} = 89.5243443244$$
$$x_{64} = -32.955439495$$
$$x_{64} = 64.3873571144$$
$$x_{64} = 51.8173478727$$
$$x_{64} = 83.2403350797$$
$$x_{64} = -39.2437660743$$
$$x_{64} = 58.1025459608$$
$$x_{64} = 14.0709110734$$
$$x_{64} = 95.8082466034$$
$$x_{64} = 1.13226772527$$
$$x_{64} = -20.3687685412$$
$$x_{64} = 20.3735996513$$
$$x_{64} = -95.8080286957$$
$$x_{64} = 7.74006134564$$
$$x_{64} = 26.6674096744$$
$$x_{64} = -58.1019533456$$
$$x_{64} = -26.6645930693$$
$$x_{64} = 39.245065515$$
Убывает на промежутках

[98.9501639358, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -98.9499596481]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 1} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x + 1} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1} = - \frac{\sin{\left (x \right )}}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1} = - \frac{-1 \sin{\left (x \right )}}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной