График функции y = sin(x-pi/4)

Вы ввели

          /    pi\
f(x) = sin|x - --|
          \    4 /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -11.7809724509617$$
$$x_{2} = 69.9004365423729$$
$$x_{3} = -30.6305283725005$$
$$x_{4} = 95.0331777710912$$
$$x_{5} = -71.4712328691678$$
$$x_{6} = -90.3207887907066$$
$$x_{7} = 51.0508806208341$$
$$x_{8} = 25.9181393921158$$
$$x_{9} = 0.785398163397448$$
$$x_{10} = 35.3429173528852$$
$$x_{11} = -33.7721210260903$$
$$x_{12} = -93.4623814442964$$
$$x_{13} = -228.550865548657$$
$$x_{14} = -18.0641577581413$$
$$x_{15} = 19.6349540849362$$
$$x_{16} = -55.7632696012188$$
$$x_{17} = 7.06858347057703$$
$$x_{18} = 73.0420291959627$$
$$x_{19} = -43.1968989868597$$
$$x_{20} = -14.9225651045515$$
$$x_{21} = 57.3340659280137$$
$$x_{22} = -8.63937979737193$$
$$x_{23} = 98.174770424681$$
$$x_{24} = 47.9092879672443$$
$$x_{25} = -46.3384916404494$$
$$x_{26} = -74.6128255227576$$
$$x_{27} = 1672.11268987317$$
$$x_{28} = 29.0597320457056$$
$$x_{29} = -21.2057504117311$$
$$x_{30} = -68.329640215578$$
$$x_{31} = -99.7455667514759$$
$$x_{32} = 79.3252145031423$$
$$x_{33} = -77.7544181763474$$
$$x_{34} = -84.037603483527$$
$$x_{35} = -27.4889357189107$$
$$x_{36} = 85.6083998103219$$
$$x_{37} = -96.6039740978861$$
$$x_{38} = 10.2101761241668$$
$$x_{39} = 13.3517687777566$$
$$x_{40} = 60.4756585816035$$
$$x_{41} = 3.92699081698724$$
$$x_{42} = -36.9137136796801$$
$$x_{43} = -52.621676947629$$
$$x_{44} = 32.2013246992954$$
$$x_{45} = -62.0464549083984$$
$$x_{46} = -58.9048622548086$$
$$x_{47} = 22.776546738526$$
$$x_{48} = 16.4933614313464$$
$$x_{49} = 41.6261026600648$$
$$x_{50} = -80.8960108299372$$
$$x_{51} = 54.1924732744239$$
$$x_{52} = -5.49778714378214$$
$$x_{53} = 101.316363078271$$
$$x_{54} = -49.4800842940392$$
$$x_{55} = 82.4668071567321$$
$$x_{56} = -65.1880475619882$$
$$x_{57} = 66.7588438887831$$
$$x_{58} = 76.1836218495525$$
$$x_{59} = 91.8915851175014$$
$$x_{60} = -87.1791961371168$$
$$x_{61} = -24.3473430653209$$
$$x_{62} = 63.6172512351933$$
$$x_{63} = -2.35619449019234$$
$$x_{64} = 38.484510006475$$
$$x_{65} = 44.7676953136546$$
$$x_{66} = 88.7499924639117$$
$$x_{67} = -1535.45340944201$$
$$x_{68} = -40.0553063332699$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x - pi/4).
$$\sin{\left(- \frac{\pi}{4} + 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Точка:

(0, -sqrt(2)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi      
(----, -1)
  4       

 3*pi    
(----, 1)
  4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x - pi/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График