График функции y = sin(x)-1

Вы ввели

f(x) = sin(x) - 1

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -86.3937977431483$$
$$x_{2} = -48.6946865760795$$
$$x_{3} = 64.4026493072124$$
$$x_{4} = 45.553093730794$$
$$x_{5} = 70.6858358251975$$
$$x_{6} = -61.2610555612794$$
$$x_{7} = 95.8185759975842$$
$$x_{8} = -86.3937988139119$$
$$x_{9} = -98.9601689530982$$
$$x_{10} = -42.4115005850814$$
$$x_{11} = -36.1283160197768$$
$$x_{12} = -77664.8827844698$$
$$x_{13} = 76.9690204681432$$
$$x_{14} = 102.101760799573$$
$$x_{15} = 83.2522056907544$$
$$x_{16} = -23.5619443878998$$
$$x_{17} = 58.1194636580315$$
$$x_{18} = -29.8451306226524$$
$$x_{19} = 7.85398174307326$$
$$x_{20} = -4.71238862219396$$
$$x_{21} = 20.4203527610188$$
$$x_{22} = -80.1106125781572$$
$$x_{23} = 39.2699077336963$$
$$x_{24} = -73.8274277616689$$
$$x_{25} = -23.5619450115115$$
$$x_{26} = 32.9867225164981$$
$$x_{27} = 1.57079657289894$$
$$x_{28} = 76.9690196732095$$
$$x_{29} = -73.8274269047688$$
$$x_{30} = 95.8185754266891$$
$$x_{31} = -67.5442415371049$$
$$x_{32} = -54.9778709962906$$
$$x_{33} = 95.8185764110282$$
$$x_{34} = 7.85398112872719$$
$$x_{35} = 20.4203521477756$$
$$x_{36} = 39.2699085343272$$
$$x_{37} = 14.1371665172699$$
$$x_{38} = 14.1371673791846$$
$$x_{39} = 70.6858352127237$$
$$x_{40} = 26.7035387715281$$
$$x_{41} = -73.8274272798455$$
$$x_{42} = -36.1283154173375$$
$$x_{43} = 51.8362788867584$$
$$x_{44} = -23.5619449492902$$
$$x_{45} = -29.8451300954883$$
$$x_{46} = -29.8451297624452$$
$$x_{47} = -17.2787583315643$$
$$x_{48} = -36.1283153448593$$
$$x_{49} = 89.535390888605$$
$$x_{50} = 20.420352160156$$
$$x_{51} = -61.2610562447228$$
$$x_{52} = -86.3937984749131$$
$$x_{53} = 45.5530922954328$$
$$x_{54} = 7.85398177249874$$
$$x_{55} = 70.6858344802043$$
$$x_{56} = 26.7035380604159$$
$$x_{57} = 64.4026492731727$$
$$x_{58} = 89.5353893728458$$
$$x_{59} = -17.2787590920677$$
$$x_{60} = -4.71238942125338$$
$$x_{61} = 1.57079525114023$$
$$x_{62} = 95.8185760629547$$
$$x_{63} = -98.9601681513438$$
$$x_{64} = -80.1106131679426$$
$$x_{65} = 58.1194643979608$$
$$x_{66} = 26.703537322248$$
$$x_{67} = -42.4115013226904$$
$$x_{68} = 64.4026499096387$$
$$x_{69} = 83.252204888767$$
$$x_{70} = -92.6769837307794$$
$$x_{71} = 89.5353901350773$$
$$x_{72} = -61.2610569934486$$
$$x_{73} = -42.4115017818136$$
$$x_{74} = 51.8362789031518$$
$$x_{75} = 51.8362782775539$$
$$x_{76} = 32.9867233134552$$
$$x_{77} = 3017.49974516717$$
$$x_{78} = -67.5442420547782$$
$$x_{79} = -67.5442421706656$$
$$x_{80} = -10.9955738413568$$
$$x_{81} = -17.2787598356363$$
$$x_{82} = -80.1106124650157$$
$$x_{83} = -92.6769829355125$$
$$x_{84} = -54.9778717966574$$
$$x_{85} = -10.9955746401247$$
$$x_{86} = 45.5530929823099$$
$$x_{87} = 1.57079769954017$$
$$x_{88} = 58.119464520069$$
$$x_{89} = 1.57079582971902$$
$$x_{90} = -48.6946857788076$$
$$x_{91} = 14.1371671100222$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + \sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi        
(--, 1 - 1)
 2         

 3*pi         
(----, -1 - 1)
  2           

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 0\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} - 1 = - \sin{\left(x \right)} - 1$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} - 1 = \sin{\left(x \right)} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График