График функции y = sin(x)-sin(x/3)

Вы ввели

                   /x\
f(x) = sin(x) - sin|-|
                   \3/

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{9 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{9 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -101.316363078271$$
$$x_{3} = -44.7676953136546$$
$$x_{4} = 84.8230016469244$$
$$x_{5} = -94.2477796076938$$
$$x_{6} = 40.0553063332699$$
$$x_{7} = 18.8495559215388$$
$$x_{8} = -68.329640215578$$
$$x_{9} = 204.988920646734$$
$$x_{10} = 11.7809724509617$$
$$x_{11} = -65.9734457253857$$
$$x_{12} = -96.6039740978861$$
$$x_{13} = -73.0420291959627$$
$$x_{14} = 44.7676953136546$$
$$x_{15} = -21.2057504117311$$
$$x_{16} = -91.8915851175014$$
$$x_{17} = 58.9048622548086$$
$$x_{18} = 96.6039740978861$$
$$x_{19} = 63.6172512351933$$
$$x_{20} = -2.35619449019234$$
$$x_{21} = -84.8230016469244$$
$$x_{22} = 75.398223686155$$
$$x_{23} = -16.4933614313464$$
$$x_{24} = -75.398223686155$$
$$x_{25} = 21.2057504117311$$
$$x_{26} = 9.42477796076938$$
$$x_{27} = -40.0553063332699$$
$$x_{28} = 87.1791961371168$$
$$x_{29} = -54.1924732744239$$
$$x_{30} = 25.9181393921158$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = 101.316363078271$$
$$x_{33} = 54.1924732744239$$
$$x_{34} = -35.3429173528852$$
$$x_{35} = 31056.9995752253$$
$$x_{36} = 82.4668071567321$$
$$x_{37} = -30.6305283725005$$
$$x_{38} = -18.8495559215388$$
$$x_{39} = -7.06858347057703$$
$$x_{40} = -37.6991118430775$$
$$x_{41} = 252.112810450581$$
$$x_{42} = 73.0420291959627$$
$$x_{43} = 94.2477796076938$$
$$x_{44} = 49.4800842940392$$
$$x_{45} = -49.4800842940392$$
$$x_{46} = -9.42477796076938$$
$$x_{47} = -63.6172512351933$$
$$x_{48} = -82.4668071567321$$
$$x_{49} = 16.4933614313464$$
$$x_{50} = 37.6991118430775$$
$$x_{51} = -25.9181393921158$$
$$x_{52} = 65.9734457253857$$
$$x_{53} = -47.1238898038469$$
$$x_{54} = -56.5486677646163$$
$$x_{55} = 2.35619449019234$$
$$x_{56} = -87.1791961371168$$
$$x_{57} = -77.7544181763474$$
$$x_{58} = 77.7544181763474$$
$$x_{59} = 7.06858347057703$$
$$x_{60} = -58.9048622548086$$
$$x_{61} = 28.2743338823081$$
$$x_{62} = 91.8915851175014$$
$$x_{63} = 47.1238898038469$$
$$x_{64} = 68.329640215578$$
$$x_{65} = 30.6305283725005$$
$$x_{66} = 56.5486677646163$$
$$x_{67} = -11.7809724509617$$
$$x_{68} = 35.3429173528852$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) - sin(x/3).
$$\sin{\left(0 \right)} - \sin{\left(\frac{0}{3} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 83.5613986410725$$
$$x_{2} = 76.6598266920069$$
$$x_{3} = 98.9601685880785$$
$$x_{4} = 55.2870647587644$$
$$x_{5} = -64.7118427195338$$
$$x_{6} = -517.101184836464$$
$$x_{7} = -89.5353906273091$$
$$x_{8} = 45.862286797995$$
$$x_{9} = -36.4375088372256$$
$$x_{10} = 38.9607148489294$$
$$x_{11} = -20.1111589273907$$
$$x_{12} = 8.16317495491748$$
$$x_{13} = -74.1366206803031$$
$$x_{14} = 86.0846046527763$$
$$x_{15} = 17.5879529156869$$
$$x_{16} = -14.1371669411541$$
$$x_{17} = -10.6863809666213$$
$$x_{18} = -23.5619449019235$$
$$x_{19} = -92.9861766018419$$
$$x_{20} = -17.5879529156869$$
$$x_{21} = -466.526509058084$$
$$x_{22} = 51.8362787842316$$
$$x_{23} = 102.410954562611$$
$$x_{24} = 95.5093826135457$$
$$x_{25} = -98.9601685880785$$
$$x_{26} = -80.1106126665397$$
$$x_{27} = 57.8102707704682$$
$$x_{28} = -4.71238898038469$$
$$x_{29} = 74.1366206803031$$
$$x_{30} = 80.1106126665397$$
$$x_{31} = 42.4115008234622$$
$$x_{32} = -61.261056745001$$
$$x_{33} = 48.3854928096988$$
$$x_{34} = 29.53593688816$$
$$x_{35} = -27.0127308764562$$
$$x_{36} = -55.2870647587644$$
$$x_{37} = 32.9867228626928$$
$$x_{38} = -51.8362787842316$$
$$x_{39} = 1.2616030058519$$
$$x_{40} = -86.0846046527763$$
$$x_{41} = 89.5353906273091$$
$$x_{42} = 92.9861766018419$$
$$x_{43} = 14.1371669411541$$
$$x_{44} = 133.208494456623$$
$$x_{45} = 27.0127308764562$$
$$x_{46} = -38.9607148489294$$
$$x_{47} = -67.2350487312376$$
$$x_{48} = 67.2350487312376$$
$$x_{49} = -152.058050378162$$
$$x_{50} = 4.71238898038469$$
$$x_{51} = 70.6858347057703$$
$$x_{52} = -95.5093826135457$$
$$x_{53} = -57.8102707704682$$
$$x_{54} = 23.5619449019235$$
$$x_{55} = -48.3854928096988$$
$$x_{56} = 61.261056745001$$
$$x_{57} = -32.9867228626928$$
$$x_{58} = 64.7118427195338$$
$$x_{59} = -83.5613986410725$$
$$x_{60} = -8.16317495491748$$
$$x_{61} = -42.4115008234622$$
$$x_{62} = 36.4375088372256$$
$$x_{63} = -70.6858347057703$$
$$x_{64} = 10.6863809666213$$
$$x_{65} = -76.6598266920069$$
$$x_{66} = 20.1111589273907$$
$$x_{67} = -29.53593688816$$
$$x_{68} = -1.2616030058519$$
$$x_{69} = -45.862286797995$$
Зн. экстремумы в точках:

(83.56139864107253, 0.544331053951815)

(76.65982669200693, 0.544331053951818)

(98.96016858807849, -2)

(55.28706475876438, -0.544331053951815)

(-64.71184271953376, -0.544331053951817)

(-517.101184836464, -0.544331053951817)

(-89.53539062730911, -2)

(45.862286797995004, 0.544331053951817)

(-36.43750883722562, 0.544331053951817)

(38.96071484892941, 0.544331053951818)

(-20.111158927390655, -0.544331053951818)

(8.163174954917483, 0.544331053951817)

(-74.13662068030314, 0.544331053951815)

(86.0846046527763, -0.544331053951817)

(17.587952915686863, -0.544331053951817)

(-14.137166941154069, -2)

(-10.686380966621275, 0.544331053951818)

(-23.56194490192345, 2)

(-92.9861766018419, 0.544331053951816)

(-17.587952915686863, 0.544331053951817)

(-466.5265090580843, -2)

(51.83627878423159, 2)

(102.41095456261128, 0.544331053951817)

(95.5093826135457, 0.544331053951817)

(-98.96016858807849, 2)

(-80.11061266653972, 2)

(57.81027077046817, 0.544331053951818)

(-4.71238898038469, 2)

(74.13662068030314, -0.544331053951815)

(80.11061266653972, -2)

(42.411500823462205, -2)

(-61.26105674500097, 2)

(48.385492809698796, -0.54433105395182)

(29.535936888160034, -0.544331053951818)

(-27.012730876456242, -0.544331053951817)

(-55.28706475876438, 0.544331053951815)

(32.98672286269283, 2)

(-51.83627878423159, -2)

(1.2616030058518954, 0.544331053951817)

(-86.0846046527763, 0.544331053951817)

(89.53539062730911, 2)

(92.9861766018419, -0.544331053951816)

(14.137166941154069, 2)

(133.2084944566232, 0.544331053951817)

(27.012730876456242, 0.544331053951817)

(-38.96071484892941, -0.544331053951818)

(-67.23504873123755, 0.54433105395182)

(67.23504873123755, -0.54433105395182)

(-152.05805037816197, -0.544331053951822)

(4.71238898038469, -2)

(70.68583470577035, 2)

(-95.5093826135457, -0.544331053951817)

(-57.81027077046817, -0.544331053951818)

(23.56194490192345, -2)

(-48.385492809698796, 0.54433105395182)

(61.26105674500097, -2)

(-32.98672286269283, -2)

(64.71184271953376, 0.544331053951817)

(-83.56139864107253, -0.544331053951815)

(-8.163174954917483, -0.544331053951817)

(-42.411500823462205, 2)

(36.43750883722562, -0.544331053951817)

(-70.68583470577035, -2)

(10.686380966621275, -0.544331053951818)

(-76.65982669200693, -0.544331053951818)

(20.111158927390655, 0.544331053951818)

(-29.535936888160034, 0.544331053951818)

(-1.2616030058518954, -0.544331053951817)

(-45.862286797995004, -0.544331053951817)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 98.9601685880785$$
$$x_{2} = 55.2870647587644$$
$$x_{3} = -64.7118427195338$$
$$x_{4} = -517.101184836464$$
$$x_{5} = -89.5353906273091$$
$$x_{6} = -20.1111589273907$$
$$x_{7} = 86.0846046527763$$
$$x_{8} = 17.5879529156869$$
$$x_{9} = -14.1371669411541$$
$$x_{10} = -466.526509058084$$
$$x_{11} = 74.1366206803031$$
$$x_{12} = 80.1106126665397$$
$$x_{13} = 42.4115008234622$$
$$x_{14} = 48.3854928096988$$
$$x_{15} = 29.53593688816$$
$$x_{16} = -27.0127308764562$$
$$x_{17} = -51.8362787842316$$
$$x_{18} = 92.9861766018419$$
$$x_{19} = -38.9607148489294$$
$$x_{20} = 67.2350487312376$$
$$x_{21} = -152.058050378162$$
$$x_{22} = 4.71238898038469$$
$$x_{23} = -95.5093826135457$$
$$x_{24} = -57.8102707704682$$
$$x_{25} = 23.5619449019235$$
$$x_{26} = 61.261056745001$$
$$x_{27} = -32.9867228626928$$
$$x_{28} = -83.5613986410725$$
$$x_{29} = -8.16317495491748$$
$$x_{30} = 36.4375088372256$$
$$x_{31} = -70.6858347057703$$
$$x_{32} = 10.6863809666213$$
$$x_{33} = -76.6598266920069$$
$$x_{34} = -1.2616030058519$$
$$x_{35} = -45.862286797995$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{35} = 83.5613986410725$$
$$x_{35} = 76.6598266920069$$
$$x_{35} = 45.862286797995$$
$$x_{35} = -36.4375088372256$$
$$x_{35} = 38.9607148489294$$
$$x_{35} = 8.16317495491748$$
$$x_{35} = -74.1366206803031$$
$$x_{35} = -10.6863809666213$$
$$x_{35} = -23.5619449019235$$
$$x_{35} = -92.9861766018419$$
$$x_{35} = -17.5879529156869$$
$$x_{35} = 51.8362787842316$$
$$x_{35} = 102.410954562611$$
$$x_{35} = 95.5093826135457$$
$$x_{35} = -98.9601685880785$$
$$x_{35} = -80.1106126665397$$
$$x_{35} = 57.8102707704682$$
$$x_{35} = -4.71238898038469$$
$$x_{35} = -61.261056745001$$
$$x_{35} = -55.2870647587644$$
$$x_{35} = 32.9867228626928$$
$$x_{35} = 1.2616030058519$$
$$x_{35} = -86.0846046527763$$
$$x_{35} = 89.5353906273091$$
$$x_{35} = 14.1371669411541$$
$$x_{35} = 133.208494456623$$
$$x_{35} = 27.0127308764562$$
$$x_{35} = -67.2350487312376$$
$$x_{35} = 70.6858347057703$$
$$x_{35} = -48.3854928096988$$
$$x_{35} = 64.7118427195338$$
$$x_{35} = -42.4115008234622$$
$$x_{35} = 20.1111589273907$$
$$x_{35} = -29.53593688816$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9601685880785, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -517.101184836464\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6.37775248305505$$
$$x_{2} = -44.0768643261326$$
$$x_{3} = 15.8025304438244$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = 59.5956932423306$$
$$x_{6} = 84.8230016469244$$
$$x_{7} = -94.2477796076938$$
$$x_{8} = 25.2273084045938$$
$$x_{9} = 50.1709152815612$$
$$x_{10} = 100.625532090749$$
$$x_{11} = 18.8495559215388$$
$$x_{12} = 31.3213593600225$$
$$x_{13} = 12.4718034384837$$
$$x_{14} = -65.9734457253857$$
$$x_{15} = 643.931926810032$$
$$x_{16} = 40.7461373207918$$
$$x_{17} = 44.0768643261326$$
$$x_{18} = 53.5016422869019$$
$$x_{19} = -15.8025304438244$$
$$x_{20} = -78.4452491638694$$
$$x_{21} = -84.8230016469244$$
$$x_{22} = -25.2273084045938$$
$$x_{23} = -21.8965813992531$$
$$x_{24} = 81.7759761692101$$
$$x_{25} = -74116.4538834904$$
$$x_{26} = 75.398223686155$$
$$x_{27} = -75.398223686155$$
$$x_{28} = -69.0204712031$$
$$x_{29} = 9.42477796076938$$
$$x_{30} = -12.4718034384837$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = 21.8965813992531$$
$$x_{33} = 72.3511982084407$$
$$x_{34} = -100.625532090749$$
$$x_{35} = -87.8700271246388$$
$$x_{36} = -18.8495559215388$$
$$x_{37} = -37.6991118430775$$
$$x_{38} = -106.719583046178$$
$$x_{39} = -59.5956932423306$$
$$x_{40} = -62.9264202476713$$
$$x_{41} = 78.4452491638694$$
$$x_{42} = 3.04702547771433$$
$$x_{43} = 94.2477796076938$$
$$x_{44} = 948.855548559993$$
$$x_{45} = -91.2007541299795$$
$$x_{46} = -9.42477796076938$$
$$x_{47} = 37.6991118430775$$
$$x_{48} = 91.2007541299795$$
$$x_{49} = 69.0204712031$$
$$x_{50} = -3.04702547771433$$
$$x_{51} = 97.2948050854081$$
$$x_{52} = 87.8700271246388$$
$$x_{53} = -40.7461373207918$$
$$x_{54} = 65.9734457253857$$
$$x_{55} = -97.2948050854081$$
$$x_{56} = -47.1238898038469$$
$$x_{57} = -56.5486677646163$$
$$x_{58} = -53.5016422869019$$
$$x_{59} = 62.9264202476713$$
$$x_{60} = 34.6520863653632$$
$$x_{61} = 6.37775248305505$$
$$x_{62} = -34.6520863653632$$
$$x_{63} = -72.3511982084407$$
$$x_{64} = 28.2743338823081$$
$$x_{65} = -31.3213593600225$$
$$x_{66} = 47.1238898038469$$
$$x_{67} = -50.1709152815612$$
$$x_{68} = 56.5486677646163$$
$$x_{69} = -81.7759761692101$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[643.931926810032, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -97.2948050854081\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) - sin(x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График