График функции y = sin(x)-x

Вы ввели

f(x) = sin(x) - x

$$f{\left(x \right)} = - x + \sin{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -1.98408831575722 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -2.52124917530246 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 0.000186205615884384$$
$$x_{4} = -0.000139957949205459$$
$$x_{5} = -9.83485862207226 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 0.000103586989846506$$
$$x_{7} = 0.000137906691427903$$
$$x_{8} = 9.87747756721168 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -0.000157696828020104$$
$$x_{10} = -0.000101863601827664$$
$$x_{11} = -0.000181578586037745$$
$$x_{12} = 0.000158265439061853$$
$$x_{13} = 0.000181808449257029$$
$$x_{14} = -0.000152751605225569$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = -2.30650948881143 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = -2.1240493551041 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -0.000153828220060634$$
$$x_{19} = -0.000135184808718669$$
$$x_{20} = 0.000157056351702437$$
$$x_{21} = 0.000132920718924851$$
$$x_{22} = 0.000196758597791821$$
$$x_{23} = 0.000187685112066993$$
$$x_{24} = 0.000116491909675764$$
$$x_{25} = -0.000119373030237671$$
$$x_{26} = 0.000192883233096713$$
$$x_{27} = -8.65514725283832 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -0.000165445288810936$$
$$x_{29} = -8.95231865768492 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = 0.000115526349792461$$
$$x_{31} = 2.49127326983744 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = -3.17741918727463 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -0.000175577662192217$$
$$x_{34} = -1.80175000295583 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -0.000184329580774592$$
$$x_{36} = 0.000147410258149109$$
$$x_{37} = -1.47286646559006 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = -0.000150650416849474$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) - x.
$$\sin{\left(0 \right)} - 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(2*pi, -2*pi)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \sin{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$- x + \sin{\left(x \right)} = - x + \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График