График функции y = sin(x)+(Abs(sin(x)))

Вы ввели

f(x) = sin(x) + |sin(x)|

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 92$$
$$x_{2} = 66$$
$$x_{3} = 12$$
$$x_{4} = 80$$
$$x_{5} = 11.7052375415$$
$$x_{6} = 4$$
$$x_{7} = -53.3722767276$$
$$x_{8} = -82$$
$$x_{9} = 60.6346576021$$
$$x_{10} = 237.820176516$$
$$x_{11} = -14$$
$$x_{12} = -78$$
$$x_{13} = -90$$
$$x_{14} = -46$$
$$x_{15} = -21.75$$
$$x_{16} = -63.2864355002$$
$$x_{17} = 22$$
$$x_{18} = 43.9820696337$$
$$x_{19} = 98$$
$$x_{20} = 74$$
$$x_{21} = 36$$
$$x_{22} = -70$$
$$x_{23} = -2.97862544746$$
$$x_{24} = -32$$
$$x_{25} = -56.6690796528$$
$$x_{26} = -20$$
$$x_{27} = 68$$
$$x_{28} = -34$$
$$x_{29} = 24$$
$$x_{30} = 87.9640478121$$
$$x_{31} = 40.9899632145$$
$$x_{32} = 6$$
$$x_{33} = 34.584266557$$
$$x_{34} = -75.7312933202$$
$$x_{35} = -44$$
$$x_{36} = 62$$
$$x_{37} = -100.640646664$$
$$x_{38} = -76$$
$$x_{39} = -84.1327162871$$
$$x_{40} = -2$$
$$x_{41} = 10$$
$$x_{42} = 1085430.64119$$
$$x_{43} = -52$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = -40.2021993478$$
$$x_{46} = -12.6983278279$$
$$x_{47} = 55.4742156532$$
$$x_{48} = -50.284472918$$
$$x_{49} = -9.39419101904$$
$$x_{50} = 54$$
$$x_{51} = 68.5412303253$$
$$x_{52} = 60$$
$$x_{53} = -63.1691856934$$
$$x_{54} = -64$$
$$x_{55} = -40$$
$$x_{56} = 31.2715540932$$
$$x_{57} = -94.2640254685$$
$$x_{58} = 37.6737115819$$
$$x_{59} = -38$$
$$x_{60} = 50$$
$$x_{61} = -70.7721096888$$
$$x_{62} = -84$$
$$x_{63} = -90.9126756522$$
$$x_{64} = -15.7072713012$$
$$x_{65} = 28.2746695217$$
$$x_{66} = 30$$
$$x_{67} = 86$$
$$x_{68} = 81.6523025789$$
$$x_{69} = -28$$
$$x_{70} = 18$$
$$x_{71} = 94$$
$$x_{72} = 16.8553768215$$
$$x_{73} = 48$$
$$x_{74} = 16$$
$$x_{75} = 47.6705111225$$
$$x_{76} = 3.73233523119$$
$$x_{77} = 99.2691857798$$
$$x_{78} = -32.0322958555$$
$$x_{79} = -26.9481791436$$
$$x_{80} = 84.9595043177$$
$$x_{81} = -26$$
$$x_{82} = -65.75$$
$$x_{83} = -96$$
$$x_{84} = -8$$
$$x_{85} = 75.240506964$$
$$x_{86} = -46.9461956376$$
$$x_{87} = -6.30522058059$$
$$x_{88} = -88$$
$$x_{89} = 100$$
$$x_{90} = 42$$
$$x_{91} = -59.6891039826$$
$$x_{92} = 78.5630734444$$
$$x_{93} = -97.3499667521$$
$$x_{94} = 24.6017779691$$
$$x_{95} = 56$$
$$x_{96} = -19.3408705763$$
$$x_{97} = -58$$
$$x_{98} = -72$$
$$x_{99} = -94.7701122835$$
$$x_{100} = 72.256706299$$
$$x_{101} = 91.6119970621$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + Abs(sin(x)).
$$\sin{\left (0 \right )} + \left|{\sin{\left (0 \right )}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\cos{\left (x \right )} \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 92$$
$$x_{2} = 66$$
$$x_{3} = -65.75$$
$$x_{4} = 12$$
$$x_{5} = 80$$
$$x_{6} = -21.7750019508$$
$$x_{7} = 4$$
$$x_{8} = 76.9690200129$$
$$x_{9} = -14$$
$$x_{10} = -78$$
$$x_{11} = -90$$
$$x_{12} = -46$$
$$x_{13} = -21.75$$
$$x_{14} = 22$$
$$x_{15} = 51.8362787842$$
$$x_{16} = 18$$
$$x_{17} = 14.1371669412$$
$$x_{18} = 98$$
$$x_{19} = 74$$
$$x_{20} = 36$$
$$x_{21} = 89.5353906273$$
$$x_{22} = -70$$
$$x_{23} = -23.5619449019$$
$$x_{24} = -32$$
$$x_{25} = -54.9778714378$$
$$x_{26} = 45.5530934771$$
$$x_{27} = -88$$
$$x_{28} = -80.1106126665$$
$$x_{29} = -20$$
$$x_{30} = -82$$
$$x_{31} = 68$$
$$x_{32} = 32.9867228627$$
$$x_{33} = -96$$
$$x_{34} = -34$$
$$x_{35} = 24$$
$$x_{36} = 64.4026493986$$
$$x_{37} = -2350.21477648$$
$$x_{38} = -44$$
$$x_{39} = 62$$
$$x_{40} = 26.7035375555$$
$$x_{41} = -76$$
$$x_{42} = -67.5442420522$$
$$x_{43} = -64$$
$$x_{44} = 50$$
$$x_{45} = -86.3937979737$$
$$x_{46} = -2$$
$$x_{47} = 10$$
$$x_{48} = -52$$
$$x_{49} = 54$$
$$x_{50} = 60$$
$$x_{51} = -17.2787595947$$
$$x_{52} = -48.6946861306$$
$$x_{53} = -40$$
$$x_{54} = -0.266574298766$$
$$x_{55} = 7.85398163397$$
$$x_{56} = -92.6769832809$$
$$x_{57} = -38$$
$$x_{58} = -73.8274273594$$
$$x_{59} = -98.9601685881$$
$$x_{60} = 62.6154246585$$
$$x_{61} = -84$$
$$x_{62} = -61.261056745$$
$$x_{63} = 30$$
$$x_{64} = 86$$
$$x_{65} = -28$$
$$x_{66} = 6$$
$$x_{67} = 20.4203522483$$
$$x_{68} = -29.8451302091$$
$$x_{69} = 94$$
$$x_{70} = 48$$
$$x_{71} = 16$$
$$x_{72} = -4.71238898038$$
$$x_{73} = -31.9859091024$$
$$x_{74} = -42.4115008235$$
$$x_{75} = 58.1194640914$$
$$x_{76} = 39.2699081699$$
$$x_{77} = 95.8185759345$$
$$x_{78} = -36.1283155163$$
$$x_{79} = -8$$
$$x_{80} = 83.2522053201$$
$$x_{81} = 100$$
$$x_{82} = 42$$
$$x_{83} = -278.382090329$$
$$x_{84} = 56$$
$$x_{85} = -26$$
$$x_{86} = -65.1984042551$$
$$x_{87} = -58$$
$$x_{88} = -10.9955742876$$
$$x_{89} = -72$$
$$x_{90} = 70.6858347058$$
$$x_{91} = 1.57079632679$$
Зн. экстремумы в точках:

(92, 0)

(66, 0)

(-65.75, 0)

(12, 0)

(80, 0)

(-21.7750019508, 0)

(4, 0)

(76.9690200129, 2)

(-14, 0)

(-78, 0)

(-90, 0)

(-46, 0)

(-21.75, 0)

(22, 0)

(51.8362787842, 2)

(18, 0)

(14.1371669412, 2)

(98, 0)

(74, 0)

(36, 0)

(89.5353906273, 2)

(-70, 0)

(-23.5619449019, 2)

(-32, 0)

(-54.9778714378, 2)

(45.5530934771, 2)

(-88, 0)

(-80.1106126665, 2)

(-20, 0)

(-82, 0)

(68, 0)

(32.9867228627, 2)

(-96, 0)

(-34, 0)

(24, 0)

(64.4026493986, 2)

(-2350.21477648, 0)

(-44, 0)

(62, 0)

(26.7035375555, 2)

(-76, 0)

(-67.5442420522, 2)

(-64, 0)

(50, 0)

(-86.3937979737, 2)

(-2, 0)

(10, 0)

(-52, 0)

(54, 0)

(60, 0)

(-17.2787595947, 2)

(-48.6946861306, 2)

(-40, 0)

(-0.266574298766, 0)

(7.85398163397, 2)

(-92.6769832809, 2)

(-38, 0)

(-73.8274273594, 2)

(-98.9601685881, 2)

(62.6154246585, 0)

(-84, 0)

(-61.261056745, 2)

(30, 0)

(86, 0)

(-28, 0)

(6, 0)

(20.4203522483, 2)

(-29.8451302091, 2)

(94, 0)

(48, 0)

(16, 0)

(-4.71238898038, 2)

(-31.9859091024, 0)

(-42.4115008235, 2)

(58.1194640914, 2)

(39.2699081699, 2)

(95.8185759345, 2)

(-36.1283155163, 2)

(-8, 0)

(83.2522053201, 2)

(100, 0)

(42, 0)

(-278.382090329, 0)

(56, 0)

(-26, 0)

(-65.1984042551, 0)

(-58, 0)

(-10.9955742876, 2)

(-72, 0)

(70.6858347058, 2)

(1.57079632679, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{91} = 76.9690200129$$
$$x_{91} = 51.8362787842$$
$$x_{91} = 14.1371669412$$
$$x_{91} = 89.5353906273$$
$$x_{91} = -23.5619449019$$
$$x_{91} = -54.9778714378$$
$$x_{91} = 45.5530934771$$
$$x_{91} = -80.1106126665$$
$$x_{91} = 32.9867228627$$
$$x_{91} = 64.4026493986$$
$$x_{91} = 26.7035375555$$
$$x_{91} = -67.5442420522$$
$$x_{91} = -86.3937979737$$
$$x_{91} = -17.2787595947$$
$$x_{91} = -48.6946861306$$
$$x_{91} = 7.85398163397$$
$$x_{91} = -92.6769832809$$
$$x_{91} = -73.8274273594$$
$$x_{91} = -98.9601685881$$
$$x_{91} = -61.261056745$$
$$x_{91} = 20.4203522483$$
$$x_{91} = -29.8451302091$$
$$x_{91} = -4.71238898038$$
$$x_{91} = -42.4115008235$$
$$x_{91} = 58.1194640914$$
$$x_{91} = 39.2699081699$$
$$x_{91} = 95.8185759345$$
$$x_{91} = -36.1283155163$$
$$x_{91} = 83.2522053201$$
$$x_{91} = -10.9955742876$$
$$x_{91} = 70.6858347058$$
$$x_{91} = 1.57079632679$$
Убывает на промежутках

(-oo, -98.9601685881]

Возрастает на промежутках

[95.8185759345, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right) = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right) = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + Abs(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = - \sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = - -1 \sin{\left (x \right )} - \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной