Графики функций/ Построение в 2D/ y = sin(x)+(Abs(sin(x)))

График функции y = sin(x)+(Abs(sin(x)))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = sin(x) + |sin(x)|
f(x)=sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|
График функции
0-25000-20000-15000-10000-5000500010000150002000004
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣=0\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=92x_{1} = 92
x2=66x_{2} = 66
x3=12x_{3} = 12
x4=80x_{4} = 80
x5=11.7052375415x_{5} = 11.7052375415
x6=4x_{6} = 4
x7=−53.3722767276x_{7} = -53.3722767276
x8=−82x_{8} = -82
x9=60.6346576021x_{9} = 60.6346576021
x10=237.820176516x_{10} = 237.820176516
x11=−14x_{11} = -14
x12=−78x_{12} = -78
x13=−90x_{13} = -90
x14=−46x_{14} = -46
x15=−21.75x_{15} = -21.75
x16=−63.2864355002x_{16} = -63.2864355002
x17=22x_{17} = 22
x18=43.9820696337x_{18} = 43.9820696337
x19=98x_{19} = 98
x20=74x_{20} = 74
x21=36x_{21} = 36
x22=−70x_{22} = -70
x23=−2.97862544746x_{23} = -2.97862544746
x24=−32x_{24} = -32
x25=−56.6690796528x_{25} = -56.6690796528
x26=−20x_{26} = -20
x27=68x_{27} = 68
x28=−34x_{28} = -34
x29=24x_{29} = 24
x30=87.9640478121x_{30} = 87.9640478121
x31=40.9899632145x_{31} = 40.9899632145
x32=6x_{32} = 6
x33=34.584266557x_{33} = 34.584266557
x34=−75.7312933202x_{34} = -75.7312933202
x35=−44x_{35} = -44
x36=62x_{36} = 62
x37=−100.640646664x_{37} = -100.640646664
x38=−76x_{38} = -76
x39=−84.1327162871x_{39} = -84.1327162871
x40=−2x_{40} = -2
x41=10x_{41} = 10
x42=1085430.64119x_{42} = 1085430.64119
x43=−52x_{43} = -52
x44=0x_{44} = 0
x45=−40.2021993478x_{45} = -40.2021993478
x46=−12.6983278279x_{46} = -12.6983278279
x47=55.4742156532x_{47} = 55.4742156532
x48=−50.284472918x_{48} = -50.284472918
x49=−9.39419101904x_{49} = -9.39419101904
x50=54x_{50} = 54
x51=68.5412303253x_{51} = 68.5412303253
x52=60x_{52} = 60
x53=−63.1691856934x_{53} = -63.1691856934
x54=−64x_{54} = -64
x55=−40x_{55} = -40
x56=31.2715540932x_{56} = 31.2715540932
x57=−94.2640254685x_{57} = -94.2640254685
x58=37.6737115819x_{58} = 37.6737115819
x59=−38x_{59} = -38
x60=50x_{60} = 50
x61=−70.7721096888x_{61} = -70.7721096888
x62=−84x_{62} = -84
x63=−90.9126756522x_{63} = -90.9126756522
x64=−15.7072713012x_{64} = -15.7072713012
x65=28.2746695217x_{65} = 28.2746695217
x66=30x_{66} = 30
x67=86x_{67} = 86
x68=81.6523025789x_{68} = 81.6523025789
x69=−28x_{69} = -28
x70=18x_{70} = 18
x71=94x_{71} = 94
x72=16.8553768215x_{72} = 16.8553768215
x73=48x_{73} = 48
x74=16x_{74} = 16
x75=47.6705111225x_{75} = 47.6705111225
x76=3.73233523119x_{76} = 3.73233523119
x77=99.2691857798x_{77} = 99.2691857798
x78=−32.0322958555x_{78} = -32.0322958555
x79=−26.9481791436x_{79} = -26.9481791436
x80=84.9595043177x_{80} = 84.9595043177
x81=−26x_{81} = -26
x82=−65.75x_{82} = -65.75
x83=−96x_{83} = -96
x84=−8x_{84} = -8
x85=75.240506964x_{85} = 75.240506964
x86=−46.9461956376x_{86} = -46.9461956376
x87=−6.30522058059x_{87} = -6.30522058059
x88=−88x_{88} = -88
x89=100x_{89} = 100
x90=42x_{90} = 42
x91=−59.6891039826x_{91} = -59.6891039826
x92=78.5630734444x_{92} = 78.5630734444
x93=−97.3499667521x_{93} = -97.3499667521
x94=24.6017779691x_{94} = 24.6017779691
x95=56x_{95} = 56
x96=−19.3408705763x_{96} = -19.3408705763
x97=−58x_{97} = -58
x98=−72x_{98} = -72
x99=−94.7701122835x_{99} = -94.7701122835
x100=72.256706299x_{100} = 72.256706299
x101=91.6119970621x_{101} = 91.6119970621
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + Abs(sin(x)).
sin⁡(0)+∣sin⁡(0)∣\sin{\left (0 \right )} + \left|{\sin{\left (0 \right )}}\right|
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
cos⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))+cos⁡(x)=0\cos{\left (x \right )} \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=92x_{1} = 92
x2=66x_{2} = 66
x3=−65.75x_{3} = -65.75
x4=12x_{4} = 12
x5=80x_{5} = 80
x6=−21.7750019508x_{6} = -21.7750019508
x7=4x_{7} = 4
x8=76.9690200129x_{8} = 76.9690200129
x9=−14x_{9} = -14
x10=−78x_{10} = -78
x11=−90x_{11} = -90
x12=−46x_{12} = -46
x13=−21.75x_{13} = -21.75
x14=22x_{14} = 22
x15=51.8362787842x_{15} = 51.8362787842
x16=18x_{16} = 18
x17=14.1371669412x_{17} = 14.1371669412
x18=98x_{18} = 98
x19=74x_{19} = 74
x20=36x_{20} = 36
x21=89.5353906273x_{21} = 89.5353906273
x22=−70x_{22} = -70
x23=−23.5619449019x_{23} = -23.5619449019
x24=−32x_{24} = -32
x25=−54.9778714378x_{25} = -54.9778714378
x26=45.5530934771x_{26} = 45.5530934771
x27=−88x_{27} = -88
x28=−80.1106126665x_{28} = -80.1106126665
x29=−20x_{29} = -20
x30=−82x_{30} = -82
x31=68x_{31} = 68
x32=32.9867228627x_{32} = 32.9867228627
x33=−96x_{33} = -96
x34=−34x_{34} = -34
x35=24x_{35} = 24
x36=64.4026493986x_{36} = 64.4026493986
x37=−2350.21477648x_{37} = -2350.21477648
x38=−44x_{38} = -44
x39=62x_{39} = 62
x40=26.7035375555x_{40} = 26.7035375555
x41=−76x_{41} = -76
x42=−67.5442420522x_{42} = -67.5442420522
x43=−64x_{43} = -64
x44=50x_{44} = 50
x45=−86.3937979737x_{45} = -86.3937979737
x46=−2x_{46} = -2
x47=10x_{47} = 10
x48=−52x_{48} = -52
x49=54x_{49} = 54
x50=60x_{50} = 60
x51=−17.2787595947x_{51} = -17.2787595947
x52=−48.6946861306x_{52} = -48.6946861306
x53=−40x_{53} = -40
x54=−0.266574298766x_{54} = -0.266574298766
x55=7.85398163397x_{55} = 7.85398163397
x56=−92.6769832809x_{56} = -92.6769832809
x57=−38x_{57} = -38
x58=−73.8274273594x_{58} = -73.8274273594
x59=−98.9601685881x_{59} = -98.9601685881
x60=62.6154246585x_{60} = 62.6154246585
x61=−84x_{61} = -84
x62=−61.261056745x_{62} = -61.261056745
x63=30x_{63} = 30
x64=86x_{64} = 86
x65=−28x_{65} = -28
x66=6x_{66} = 6
x67=20.4203522483x_{67} = 20.4203522483
x68=−29.8451302091x_{68} = -29.8451302091
x69=94x_{69} = 94
x70=48x_{70} = 48
x71=16x_{71} = 16
x72=−4.71238898038x_{72} = -4.71238898038
x73=−31.9859091024x_{73} = -31.9859091024
x74=−42.4115008235x_{74} = -42.4115008235
x75=58.1194640914x_{75} = 58.1194640914
x76=39.2699081699x_{76} = 39.2699081699
x77=95.8185759345x_{77} = 95.8185759345
x78=−36.1283155163x_{78} = -36.1283155163
x79=−8x_{79} = -8
x80=83.2522053201x_{80} = 83.2522053201
x81=100x_{81} = 100
x82=42x_{82} = 42
x83=−278.382090329x_{83} = -278.382090329
x84=56x_{84} = 56
x85=−26x_{85} = -26
x86=−65.1984042551x_{86} = -65.1984042551
x87=−58x_{87} = -58
x88=−10.9955742876x_{88} = -10.9955742876
x89=−72x_{89} = -72
x90=70.6858347058x_{90} = 70.6858347058
x91=1.57079632679x_{91} = 1.57079632679
Зн. экстремумы в точках:
(92, 0)

(66, 0)

(-65.75, 0)

(12, 0)

(80, 0)

(-21.7750019508, 0)

(4, 0)

(76.9690200129, 2)

(-14, 0)

(-78, 0)

(-90, 0)

(-46, 0)

(-21.75, 0)

(22, 0)

(51.8362787842, 2)

(18, 0)

(14.1371669412, 2)

(98, 0)

(74, 0)

(36, 0)

(89.5353906273, 2)

(-70, 0)

(-23.5619449019, 2)

(-32, 0)

(-54.9778714378, 2)

(45.5530934771, 2)

(-88, 0)

(-80.1106126665, 2)

(-20, 0)

(-82, 0)

(68, 0)

(32.9867228627, 2)

(-96, 0)

(-34, 0)

(24, 0)

(64.4026493986, 2)

(-2350.21477648, 0)

(-44, 0)

(62, 0)

(26.7035375555, 2)

(-76, 0)

(-67.5442420522, 2)

(-64, 0)

(50, 0)

(-86.3937979737, 2)

(-2, 0)

(10, 0)

(-52, 0)

(54, 0)

(60, 0)

(-17.2787595947, 2)

(-48.6946861306, 2)

(-40, 0)

(-0.266574298766, 0)

(7.85398163397, 2)

(-92.6769832809, 2)

(-38, 0)

(-73.8274273594, 2)

(-98.9601685881, 2)

(62.6154246585, 0)

(-84, 0)

(-61.261056745, 2)

(30, 0)

(86, 0)

(-28, 0)

(6, 0)

(20.4203522483, 2)

(-29.8451302091, 2)

(94, 0)

(48, 0)

(16, 0)

(-4.71238898038, 2)

(-31.9859091024, 0)

(-42.4115008235, 2)

(58.1194640914, 2)

(39.2699081699, 2)

(95.8185759345, 2)

(-36.1283155163, 2)

(-8, 0)

(83.2522053201, 2)

(100, 0)

(42, 0)

(-278.382090329, 0)

(56, 0)

(-26, 0)

(-65.1984042551, 0)

(-58, 0)

(-10.9955742876, 2)

(-72, 0)

(70.6858347058, 2)

(1.57079632679, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x91=76.9690200129x_{91} = 76.9690200129
x91=51.8362787842x_{91} = 51.8362787842
x91=14.1371669412x_{91} = 14.1371669412
x91=89.5353906273x_{91} = 89.5353906273
x91=−23.5619449019x_{91} = -23.5619449019
x91=−54.9778714378x_{91} = -54.9778714378
x91=45.5530934771x_{91} = 45.5530934771
x91=−80.1106126665x_{91} = -80.1106126665
x91=32.9867228627x_{91} = 32.9867228627
x91=64.4026493986x_{91} = 64.4026493986
x91=26.7035375555x_{91} = 26.7035375555
x91=−67.5442420522x_{91} = -67.5442420522
x91=−86.3937979737x_{91} = -86.3937979737
x91=−17.2787595947x_{91} = -17.2787595947
x91=−48.6946861306x_{91} = -48.6946861306
x91=7.85398163397x_{91} = 7.85398163397
x91=−92.6769832809x_{91} = -92.6769832809
x91=−73.8274273594x_{91} = -73.8274273594
x91=−98.9601685881x_{91} = -98.9601685881
x91=−61.261056745x_{91} = -61.261056745
x91=20.4203522483x_{91} = 20.4203522483
x91=−29.8451302091x_{91} = -29.8451302091
x91=−4.71238898038x_{91} = -4.71238898038
x91=−42.4115008235x_{91} = -42.4115008235
x91=58.1194640914x_{91} = 58.1194640914
x91=39.2699081699x_{91} = 39.2699081699
x91=95.8185759345x_{91} = 95.8185759345
x91=−36.1283155163x_{91} = -36.1283155163
x91=83.2522053201x_{91} = 83.2522053201
x91=−10.9955742876x_{91} = -10.9955742876
x91=70.6858347058x_{91} = 70.6858347058
x91=1.57079632679x_{91} = 1.57079632679
Убывает на промежутках
(-oo, -98.9601685881]

Возрастает на промежутках
[95.8185759345, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣)=⟨−1,1⟩+∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right) = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩+∣⟨−1,1⟩∣y = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣)=⟨−1,1⟩+∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right) = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−1,1⟩+∣⟨−1,1⟩∣y = \langle -1, 1\rangle + \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + Abs(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣=−sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = - \sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|
- Нет
sin⁡(x)+∣sin⁡(x)∣=−−1sin⁡(x)−∣sin⁡(x)∣\sin{\left (x \right )} + \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = - -1 \sin{\left (x \right )} - \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной