График функции y = sin(x+pi/2)

Вы ввели

          /    pi\
f(x) = sin|x + --|
          \    2 /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 64.4026493985908$$
$$x_{2} = -42.4115008234622$$
$$x_{3} = 54.9778714378214$$
$$x_{4} = 70.6858347057703$$
$$x_{5} = 39.2699081698724$$
$$x_{6} = -23.5619449019235$$
$$x_{7} = 76.9690200129499$$
$$x_{8} = 73.8274273593601$$
$$x_{9} = 95.8185759344887$$
$$x_{10} = -83.2522053201295$$
$$x_{11} = 67.5442420521806$$
$$x_{12} = 1.5707963267949$$
$$x_{13} = -45.553093477052$$
$$x_{14} = 98.9601685880785$$
$$x_{15} = -387.986692718339$$
$$x_{16} = 32.9867228626928$$
$$x_{17} = -54.9778714378214$$
$$x_{18} = 89.5353906273091$$
$$x_{19} = -20.4203522483337$$
$$x_{20} = 61.261056745001$$
$$x_{21} = -7.85398163397448$$
$$x_{22} = 86.3937979737193$$
$$x_{23} = -10.9955742875643$$
$$x_{24} = 14.1371669411541$$
$$x_{25} = -80.1106126665397$$
$$x_{26} = -64.4026493985908$$
$$x_{27} = -73.8274273593601$$
$$x_{28} = -26.7035375555132$$
$$x_{29} = -14.1371669411541$$
$$x_{30} = 7.85398163397448$$
$$x_{31} = -92.6769832808989$$
$$x_{32} = 29.845130209103$$
$$x_{33} = -67.5442420521806$$
$$x_{34} = 58.1194640914112$$
$$x_{35} = -48.6946861306418$$
$$x_{36} = -76.9690200129499$$
$$x_{37} = -61.261056745001$$
$$x_{38} = -29.845130209103$$
$$x_{39} = 17.2787595947439$$
$$x_{40} = 48.6946861306418$$
$$x_{41} = 45.553093477052$$
$$x_{42} = 42.4115008234622$$
$$x_{43} = 80.1106126665397$$
$$x_{44} = 83.2522053201295$$
$$x_{45} = 10.9955742875643$$
$$x_{46} = -89.5353906273091$$
$$x_{47} = -2266.65909956504$$
$$x_{48} = -58.1194640914112$$
$$x_{49} = -39.2699081698724$$
$$x_{50} = -86.3937979737193$$
$$x_{51} = 23.5619449019235$$
$$x_{52} = -17.2787595947439$$
$$x_{53} = 36.1283155162826$$
$$x_{54} = 92.6769832808989$$
$$x_{55} = -95.8185759344887$$
$$x_{56} = -70.6858347057703$$
$$x_{57} = 4.71238898038469$$
$$x_{58} = 51.8362787842316$$
$$x_{59} = -168.075206967054$$
$$x_{60} = -98.9601685880785$$
$$x_{61} = -32.9867228626928$$
$$x_{62} = 20.4203522483337$$
$$x_{63} = -4.71238898038469$$
$$x_{64} = -36.1283155162826$$
$$x_{65} = 26.7035375555132$$
$$x_{66} = -51.8362787842316$$
$$x_{67} = -1.5707963267949$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x + pi/2).
$$\sin{\left(0 + \frac{\pi}{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x + pi/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = - \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График