График функции y = sin(x+pi/6)

Вы ввели

          /    pi\
f(x) = sin|x + --|
          \    6 /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 34.0339204138894$$
$$x_{2} = -88.4881930761125$$
$$x_{3} = -41.3643032722656$$
$$x_{4} = -94.7713783832921$$
$$x_{5} = -820.479281362534$$
$$x_{6} = -6.80678408277789$$
$$x_{7} = 2.61799387799149$$
$$x_{8} = 8.90117918517108$$
$$x_{9} = -50.789081233035$$
$$x_{10} = 40.317105721069$$
$$x_{11} = 43.4586983746588$$
$$x_{12} = 30.8923277602996$$
$$x_{13} = -16.2315620435473$$
$$x_{14} = -85.3466004225227$$
$$x_{15} = 62.3082542961976$$
$$x_{16} = -69.6386371545737$$
$$x_{17} = 65.4498469497874$$
$$x_{18} = 71.733032256967$$
$$x_{19} = -38.2227106186758$$
$$x_{20} = -75.9218224617533$$
$$x_{21} = -31.9395253114962$$
$$x_{22} = 87.4409955249159$$
$$x_{23} = -3.66519142918809$$
$$x_{24} = -60.2138591938044$$
$$x_{25} = 100.007366139275$$
$$x_{26} = 18.3259571459405$$
$$x_{27} = -57.0722665402146$$
$$x_{28} = -13.0899693899575$$
$$x_{29} = 96.8657734856853$$
$$x_{30} = 27.7507351067098$$
$$x_{31} = 84.2994028713261$$
$$x_{32} = 90.5825881785057$$
$$x_{33} = -22.5147473507269$$
$$x_{34} = -101.054563690472$$
$$x_{35} = -0.523598775598299$$
$$x_{36} = -63.3554518473942$$
$$x_{37} = 15.1843644923507$$
$$x_{38} = 12.0427718387609$$
$$x_{39} = 24.60914245312$$
$$x_{40} = 49.7418836818384$$
$$x_{41} = -19.3731546971371$$
$$x_{42} = -91.6297857297023$$
$$x_{43} = -79.0634151153431$$
$$x_{44} = -9.94837673636768$$
$$x_{45} = -25.6563400043166$$
$$x_{46} = 59.1666616426078$$
$$x_{47} = 68.5914396033772$$
$$x_{48} = -66.497044500984$$
$$x_{49} = -53.9306738866248$$
$$x_{50} = 21.4675497995303$$
$$x_{51} = -28.7979326579064$$
$$x_{52} = 74.8746249105567$$
$$x_{53} = 52.8834763354282$$
$$x_{54} = -82.2050077689329$$
$$x_{55} = 93.7241808320955$$
$$x_{56} = 81.1578102177363$$
$$x_{57} = -72.7802298081635$$
$$x_{58} = 56.025068989018$$
$$x_{59} = 5.75958653158129$$
$$x_{60} = 37.1755130674792$$
$$x_{61} = 78.0162175641465$$
$$x_{62} = 131.423292675173$$
$$x_{63} = -97.9129710368819$$
$$x_{64} = -47.6474885794452$$
$$x_{65} = -44.5058959258554$$
$$x_{66} = -35.081117965086$$
$$x_{67} = 46.6002910282486$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x + pi/6).
$$\sin{\left(0 + \frac{\pi}{6} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, 1/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 3     

 4*pi     
(----, -1)
  3       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{4 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x + pi/6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График