График функции y = sin(x+pi/3)

Вы ввели

          /    pi\
f(x) = sin|x + --|
          \    3 /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -63.8790506229925$$
$$x_{2} = 39.7935069454707$$
$$x_{3} = 8.37758040957278$$
$$x_{4} = -154.985237577096$$
$$x_{5} = 64.9262481741891$$
$$x_{6} = 49.2182849062401$$
$$x_{7} = -29.3215314335047$$
$$x_{8} = -45.0294947014537$$
$$x_{9} = -73.3038285837618$$
$$x_{10} = 74.3510261349584$$
$$x_{11} = -54.4542726622231$$
$$x_{12} = -95.2949771588904$$
$$x_{13} = -79.5870138909414$$
$$x_{14} = -89.0117918517108$$
$$x_{15} = -41.8879020478639$$
$$x_{16} = 52.3598775598299$$
$$x_{17} = -16.7551608191456$$
$$x_{18} = 93.2005820564972$$
$$x_{19} = 5.23598775598299$$
$$x_{20} = -38.7463093942741$$
$$x_{21} = -67.0206432765823$$
$$x_{22} = 61.7846555205993$$
$$x_{23} = -23.0383461263252$$
$$x_{24} = 20.943951023932$$
$$x_{25} = 80.634211442138$$
$$x_{26} = 96.342174710087$$
$$x_{27} = 24.0855436775217$$
$$x_{28} = 14.6607657167524$$
$$x_{29} = 11.5191730631626$$
$$x_{30} = 86.9173967493176$$
$$x_{31} = 99.4837673636768$$
$$x_{32} = 27.2271363311115$$
$$x_{33} = -51.3126800086333$$
$$x_{34} = 77.4926187885482$$
$$x_{35} = -1.0471975511966$$
$$x_{36} = -76.4454212373516$$
$$x_{37} = -92.1533845053006$$
$$x_{38} = -7.33038285837618$$
$$x_{39} = 17.8023583703422$$
$$x_{40} = -4.18879020478639$$
$$x_{41} = -35.6047167406843$$
$$x_{42} = -13.6135681655558$$
$$x_{43} = -10.471975511966$$
$$x_{44} = -4939.63084899435$$
$$x_{45} = 68.0678408277789$$
$$x_{46} = -19.8967534727354$$
$$x_{47} = 36.6519142918809$$
$$x_{48} = 58.6430628670095$$
$$x_{49} = -57.5958653158129$$
$$x_{50} = -32.4631240870945$$
$$x_{51} = -82.7286065445312$$
$$x_{52} = 83.7758040957278$$
$$x_{53} = 102.625360017267$$
$$x_{54} = 30.3687289847013$$
$$x_{55} = 90.0589894029074$$
$$x_{56} = -60.7374579694027$$
$$x_{57} = 55.5014702134197$$
$$x_{58} = 46.0766922526503$$
$$x_{59} = -70.162235930172$$
$$x_{60} = 2.0943951023932$$
$$x_{61} = 33.5103216382911$$
$$x_{62} = 71.2094334813686$$
$$x_{63} = 42.9350995990605$$
$$x_{64} = -85.870199198121$$
$$x_{65} = -98.4365698124802$$
$$x_{66} = -48.1710873550435$$
$$x_{67} = -26.1799387799149$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x + pi/3).
$$\sin{\left(0 + \frac{\pi}{3} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(3)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 1)
 6     

 7*pi     
(----, -1)
  6       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{7 \pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x + pi/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График