График функции y = sin(x)+cos(x)+1

Вы ввели

f(x) = sin(x) + cos(x) + 1

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -51.8362787842316$$
$$x_{2} = 34.5575191894877$$
$$x_{3} = -65.9734457253857$$
$$x_{4} = 10.9955742875643$$
$$x_{5} = 29.845130209103$$
$$x_{6} = 72.2566310325652$$
$$x_{7} = 61.261056745001$$
$$x_{8} = -84.8230016469244$$
$$x_{9} = -9.42477796076938$$
$$x_{10} = 54.9778714378214$$
$$x_{11} = 17.2787595947439$$
$$x_{12} = -76.9690200129499$$
$$x_{13} = -39.2699081698724$$
$$x_{14} = -91.106186954104$$
$$x_{15} = -26.7035375555132$$
$$x_{16} = -97.3893722612836$$
$$x_{17} = -70.6858347057703$$
$$x_{18} = 91.106186954104$$
$$x_{19} = -83.2522053201295$$
$$x_{20} = -59.6902604182061$$
$$x_{21} = -45.553093477052$$
$$x_{22} = 21.9911485751286$$
$$x_{23} = -34.5575191894877$$
$$x_{24} = -3.14159265358979$$
$$x_{25} = 4.71238898038469$$
$$x_{26} = 42.4115008234622$$
$$x_{27} = 36.1283155162826$$
$$x_{28} = -64.4026493985908$$
$$x_{29} = 15.707963267949$$
$$x_{30} = 78.5398163397448$$
$$x_{31} = -21.9911485751286$$
$$x_{32} = -14.1371669411541$$
$$x_{33} = 3.14159265358979$$
$$x_{34} = 86.3937979737193$$
$$x_{35} = -196.349540849362$$
$$x_{36} = 73.8274273593601$$
$$x_{37} = 98.9601685880785$$
$$x_{38} = 65.9734457253857$$
$$x_{39} = 92.6769832808989$$
$$x_{40} = 84.8230016469244$$
$$x_{41} = 48.6946861306418$$
$$x_{42} = -95.8185759344887$$
$$x_{43} = -32.9867228626928$$
$$x_{44} = -28.2743338823081$$
$$x_{45} = -7.85398163397448$$
$$x_{46} = 59.6902604182061$$
$$x_{47} = -47.1238898038469$$
$$x_{48} = -40.8407044966673$$
$$x_{49} = 80.1106126665397$$
$$x_{50} = -89.5353906273091$$
$$x_{51} = 53.4070751110265$$
$$x_{52} = 40.8407044966673$$
$$x_{53} = -72.2566310325652$$
$$x_{54} = -53.4070751110265$$
$$x_{55} = -1.5707963267949$$
$$x_{56} = 23.5619449019235$$
$$x_{57} = -20.4203522483337$$
$$x_{58} = -78.5398163397448$$
$$x_{59} = 67.5442420521806$$
$$x_{60} = -58.1194640914112$$
$$x_{61} = 28.2743338823081$$
$$x_{62} = 97.3893722612836$$
$$x_{63} = -15.707963267949$$
$$x_{64} = 9.42477796076938$$
$$x_{65} = 47.1238898038469$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + cos(x) + 1.
$$\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi        ___ 
(--, 1 + \/ 2 )
 4             

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- (\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + cos(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1 = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1 = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График