График функции y = sin(x)+cos(x)^(2)

Вы ввели

                   2   
f(x) = sin(x) + cos (x)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = 81.0151695608421$$
$$x_{2} = 47.7901292363394$$
$$x_{3} = 28.9405733148007$$
$$x_{4} = -38.36535127557$$
$$x_{5} = -21.324909142636$$
$$x_{6} = 30.7496871034054$$
$$x_{7} = 18.1833164890462$$
$$x_{8} = -63.4980925042884$$
$$x_{9} = 87.2983548680217$$
$$x_{10} = 93.5815401752013$$
$$x_{11} = 13405.8420923001$$
$$x_{12} = -13.2326100468517$$
$$x_{13} = -40.1744650641748$$
$$x_{14} = 22.6573880076211$$
$$x_{15} = -69.781277811468$$
$$x_{16} = -33.8912797569952$$
$$x_{17} = -52.740835678534$$
$$x_{18} = 98.0556116937761$$
$$x_{19} = 62.1656136393034$$
$$x_{20} = -2.47535322109728$$
$$x_{21} = -44.6485365827496$$
$$x_{22} = -65.3072062928931$$
$$x_{23} = 72.9228704650578$$
$$x_{24} = 16.3742027004415$$
$$x_{25} = -76.0644631186476$$
$$x_{26} = -27.6080944498156$$
$$x_{27} = 24.4665017962258$$
$$x_{28} = -25.7989806612109$$
$$x_{29} = -8.75853852827686$$
$$x_{30} = 99.8647254823809$$
$$x_{31} = -84.1567622144319$$
$$x_{32} = -90.4399475216115$$
$$x_{33} = 49.5992430249442$$
$$x_{34} = 3.80783208608231$$
$$x_{35} = 5.61694587468707$$
$$x_{36} = -59.0240209857136$$
$$x_{37} = -32.0821659683904$$
$$x_{38} = -46.4576503713544$$
$$x_{39} = -82.3476484258271$$
$$x_{40} = 11.9001311818667$$
$$x_{41} = -94.9140190401863$$
$$x_{42} = -0.666239432492515$$
$$x_{43} = 91.7724263865965$$
$$x_{44} = 41.5069439291598$$
$$x_{45} = 43.3160577177646$$
$$x_{46} = -1917.03775812227$$
$$x_{47} = 85.4892410794169$$
$$x_{48} = 10.0910173932619$$
$$x_{49} = -88.6308337330067$$
$$x_{50} = 66.6396851578782$$
$$x_{51} = -77.8735769072523$$
$$x_{52} = -57.2149071971088$$
$$x_{53} = 54.073314543519$$
$$x_{54} = -71.5903916000727$$
$$x_{55} = -19.5157953540313$$
$$x_{56} = 55.8824283321238$$
$$x_{57} = 68.4487989464829$$
$$x_{58} = 74.7319842536625$$
$$x_{59} = -15.0417238354565$$
$$x_{60} = 60.3564998506986$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + cos(x)^2.
$$\sin{\left(0 \right)} + \cos^{2}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi      
(--, 5/4)
 6       

 pi    
(--, 1)
 2     

 5*pi      
(----, 5/4)
  6        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График