График функции y = sin(x)+log(sin(x))

Вы ввели

f(x) = sin(x) + log(sin(x))

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{asin}{\left (\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -81.0783757808$$
$$x_{2} = 63.4348862843$$
$$x_{3} = 94.8508128202$$
$$x_{4} = -93.6447463952$$
$$x_{5} = 69.7180715915$$
$$x_{6} = 40.2376712842$$
$$x_{7} = -79.1428495523$$
$$x_{8} = -62.2288198593$$
$$x_{9} = 32.0189597484$$
$$x_{10} = 44.5853303628$$
$$x_{11} = -72.8596642451$$
$$x_{12} = 90.5031537416$$
$$x_{13} = -30.8128933234$$
$$x_{14} = -3.7446258661$$
$$x_{15} = 19.4525891341$$
$$x_{16} = -18.246522709$$
$$x_{17} = 84.2199684344$$
$$x_{18} = -41.4437377092$$
$$x_{19} = 76.0012568987$$
$$x_{20} = 65.3704125129$$
$$x_{21} = 33.954485977$$
$$x_{22} = 6.88621851969$$
$$x_{23} = 88.567627513$$
$$x_{24} = -47.7269230164$$
$$x_{25} = -22.5941817876$$
$$x_{26} = 46.5208565913$$
$$x_{27} = -43.3792639377$$
$$x_{28} = -16.3109964805$$
$$x_{29} = 52.8040418985$$
$$x_{30} = -91.7092201666$$
$$x_{31} = -35.160552402$$
$$x_{32} = 82.2844422058$$
$$x_{33} = -10.0278111733$$
$$x_{34} = 38.3021450556$$
$$x_{35} = -37.0960786306$$
$$x_{36} = 13.1694038269$$
$$x_{37} = 96.7863390488$$
$$x_{38} = 71.6535978201$$
$$x_{39} = -66.5764789379$$
$$x_{40} = -85.4260348594$$
$$x_{41} = 21.3881153626$$
$$x_{42} = -49.6624492449$$
$$x_{43} = -11.9633374018$$
$$x_{44} = 57.1517009771$$
$$x_{45} = -87.361561088$$
$$x_{46} = -99.9279317024$$
$$x_{47} = -5.68015209467$$
$$x_{48} = 25.7357744412$$
$$x_{49} = -68.5120051665$$
$$x_{50} = -60.2932936307$$
$$x_{51} = 77.9367831272$$
$$x_{52} = -54.0101083235$$
$$x_{53} = 27.6713006698$$
$$x_{54} = 8.82174474826$$
$$x_{55} = 2.53855944108$$
$$x_{56} = -55.9456345521$$
$$x_{57} = -24.5297080162$$
$$x_{58} = -97.9924054738$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + log(sin(x)).
$$\log{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )} + \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\cos{\left (x \right )} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi             
(----, -1 + pi*I)
  2              

 pi    
(--, 1)
 2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2]

Возрастает на промежутках

[pi/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + 1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Выпуклая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + log(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} = \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} = - \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )} - - \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной