График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sin(x) + log(sin(x)). log(sin(0))+sin(0) Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная cos(x)+sin(x)cos(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2π x2=2π Зн. экстремумы в точках:
-pi
(----, -1 + pi*I)
2
pi
(--, 1)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x2=2π Убывает на промежутках
(-oo, pi/2]
Возрастает на промежутках
[pi/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная −sin(x)+1+sin2(x)cos2(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2π
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Выпуклая на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(log(sin(x))+sin(x))=⟨−1,1⟩+log(⟨−1,1⟩) Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−1,1⟩+log(⟨−1,1⟩) x→∞lim(log(sin(x))+sin(x))=⟨−1,1⟩+log(⟨−1,1⟩) Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−1,1⟩+log(⟨−1,1⟩)
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + log(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(log(sin(x))+sin(x)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1(log(sin(x))+sin(x)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: log(sin(x))+sin(x)=log(−sin(x))−sin(x) - Нет log(sin(x))+sin(x)=−log(−sin(x))−−sin(x) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной