Графики функций/ Построение в 2D/ y = sin(x)+log(sin(x))

График функции y = sin(x)+log(sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = sin(x) + log(sin(x))
f(x)=log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}
График функции
0-12500-10000-7500-5000-25002500500075001000012500150005-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)=0\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=asin⁡(LambertW⁡(1))x_{1} = \operatorname{asin}{\left (\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )} \right )}
Численное решение
x1=−81.0783757808x_{1} = -81.0783757808
x2=63.4348862843x_{2} = 63.4348862843
x3=94.8508128202x_{3} = 94.8508128202
x4=−93.6447463952x_{4} = -93.6447463952
x5=69.7180715915x_{5} = 69.7180715915
x6=40.2376712842x_{6} = 40.2376712842
x7=−79.1428495523x_{7} = -79.1428495523
x8=−62.2288198593x_{8} = -62.2288198593
x9=32.0189597484x_{9} = 32.0189597484
x10=44.5853303628x_{10} = 44.5853303628
x11=−72.8596642451x_{11} = -72.8596642451
x12=90.5031537416x_{12} = 90.5031537416
x13=−30.8128933234x_{13} = -30.8128933234
x14=−3.7446258661x_{14} = -3.7446258661
x15=19.4525891341x_{15} = 19.4525891341
x16=−18.246522709x_{16} = -18.246522709
x17=84.2199684344x_{17} = 84.2199684344
x18=−41.4437377092x_{18} = -41.4437377092
x19=76.0012568987x_{19} = 76.0012568987
x20=65.3704125129x_{20} = 65.3704125129
x21=33.954485977x_{21} = 33.954485977
x22=6.88621851969x_{22} = 6.88621851969
x23=88.567627513x_{23} = 88.567627513
x24=−47.7269230164x_{24} = -47.7269230164
x25=−22.5941817876x_{25} = -22.5941817876
x26=46.5208565913x_{26} = 46.5208565913
x27=−43.3792639377x_{27} = -43.3792639377
x28=−16.3109964805x_{28} = -16.3109964805
x29=52.8040418985x_{29} = 52.8040418985
x30=−91.7092201666x_{30} = -91.7092201666
x31=−35.160552402x_{31} = -35.160552402
x32=82.2844422058x_{32} = 82.2844422058
x33=−10.0278111733x_{33} = -10.0278111733
x34=38.3021450556x_{34} = 38.3021450556
x35=−37.0960786306x_{35} = -37.0960786306
x36=13.1694038269x_{36} = 13.1694038269
x37=96.7863390488x_{37} = 96.7863390488
x38=71.6535978201x_{38} = 71.6535978201
x39=−66.5764789379x_{39} = -66.5764789379
x40=−85.4260348594x_{40} = -85.4260348594
x41=21.3881153626x_{41} = 21.3881153626
x42=−49.6624492449x_{42} = -49.6624492449
x43=−11.9633374018x_{43} = -11.9633374018
x44=57.1517009771x_{44} = 57.1517009771
x45=−87.361561088x_{45} = -87.361561088
x46=−99.9279317024x_{46} = -99.9279317024
x47=−5.68015209467x_{47} = -5.68015209467
x48=25.7357744412x_{48} = 25.7357744412
x49=−68.5120051665x_{49} = -68.5120051665
x50=−60.2932936307x_{50} = -60.2932936307
x51=77.9367831272x_{51} = 77.9367831272
x52=−54.0101083235x_{52} = -54.0101083235
x53=27.6713006698x_{53} = 27.6713006698
x54=8.82174474826x_{54} = 8.82174474826
x55=2.53855944108x_{55} = 2.53855944108
x56=−55.9456345521x_{56} = -55.9456345521
x57=−24.5297080162x_{57} = -24.5297080162
x58=−97.9924054738x_{58} = -97.9924054738
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + log(sin(x)).
log⁡(sin⁡(0))+sin⁡(0)\log{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )} + \sin{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=∞~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=0\cos{\left (x \right )} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
 -pi             
(----, -1 + pi*I)
  2              

 pi    
(--, 1)
 2


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Убывает на промежутках
(-oo, pi/2]

Возрастает на промежутках
[pi/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
−sin⁡(x)+1+cos⁡2(x)sin⁡2(x)=0- \sin{\left (x \right )} + 1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Выпуклая на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x))=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)y = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x))=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−1,1⟩+log⁡(⟨−1,1⟩)y = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + log(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)=log⁡(−sin⁡(x))−sin⁡(x)\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} = \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (x \right )}
- Нет
log⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)=−log⁡(−sin⁡(x))−−sin⁡(x)\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} = - \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )} - - \sin{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной