График функции y = sin(x+1)

Вы ввели

f(x) = sin(x + 1)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + 1 \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1 + \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -10.4247779607694$$
$$x_{2} = -38.6991118430775$$
$$x_{3} = 1227.36272755361$$
$$x_{4} = -32.4159265358979$$
$$x_{5} = -85.8230016469244$$
$$x_{6} = -26.1327412287183$$
$$x_{7} = 86.9645943005142$$
$$x_{8} = -7.28318530717959$$
$$x_{9} = 90.106186954104$$
$$x_{10} = -44.9822971502571$$
$$x_{11} = 17.8495559215388$$
$$x_{12} = -22.9911485751286$$
$$x_{13} = 14.707963267949$$
$$x_{14} = 80.6814089933346$$
$$x_{15} = 11.5663706143592$$
$$x_{16} = -92.106186954104$$
$$x_{17} = 52.4070751110265$$
$$x_{18} = 64.9734457253857$$
$$x_{19} = -54.4070751110265$$
$$x_{20} = -16.707963267949$$
$$x_{21} = 8.42477796076938$$
$$x_{22} = 83.8230016469244$$
$$x_{23} = 55.5486677646163$$
$$x_{24} = 42.9822971502571$$
$$x_{25} = 27.2743338823081$$
$$x_{26} = -104.672557568463$$
$$x_{27} = -51.2654824574367$$
$$x_{28} = 58.6902604182061$$
$$x_{29} = 46.1238898038469$$
$$x_{30} = 74.398223686155$$
$$x_{31} = -35.5575191894877$$
$$x_{32} = 20.9911485751286$$
$$x_{33} = 5.28318530717959$$
$$x_{34} = -101.530964914873$$
$$x_{35} = 93.2477796076938$$
$$x_{36} = -66.9734457253857$$
$$x_{37} = -553.920307031804$$
$$x_{38} = -126.663706143592$$
$$x_{39} = -76.398223686155$$
$$x_{40} = 68.1150383789755$$
$$x_{41} = -63.8318530717959$$
$$x_{42} = -60.6902604182061$$
$$x_{43} = 61.8318530717959$$
$$x_{44} = 30.4159265358979$$
$$x_{45} = 71.2566310325652$$
$$x_{46} = -98.3893722612836$$
$$x_{47} = -95.2477796076938$$
$$x_{48} = -48.1238898038469$$
$$x_{49} = 24.1327412287183$$
$$x_{50} = -13.5663706143592$$
$$x_{51} = -117.238928182822$$
$$x_{52} = -88.9645943005142$$
$$x_{53} = 99.5309649148734$$
$$x_{54} = -19.8495559215388$$
$$x_{55} = 96.3893722612836$$
$$x_{56} = -82.6814089933346$$
$$x_{57} = 36.6991118430775$$
$$x_{58} = -57.5486677646163$$
$$x_{59} = -41.8407044966673$$
$$x_{60} = -29.2743338823081$$
$$x_{61} = 2.14159265358979$$
$$x_{62} = 77.5398163397448$$
$$x_{63} = 49.2654824574367$$
$$x_{64} = 33.5575191894877$$
$$x_{65} = -4.14159265358979$$
$$x_{66} = -1$$
$$x_{67} = -73.2566310325652$$
$$x_{68} = 39.8407044966673$$
$$x_{69} = -70.1150383789755$$
$$x_{70} = -79.5398163397448$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x + 1).
$$\sin{\left(0 + 1 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \sin{\left(1 \right)}$$
Точка:

(0, sin(1))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

      pi    
(-1 + --, 1)
      2     

      3*pi     
(-1 + ----, -1)
       2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1 + \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[-1 + \frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1 + \frac{\pi}{2}, -1 + \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(x + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1 + \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[-1 + \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1, -1 + \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x + 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x + 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x + 1 \right)} = - \sin{\left(x - 1 \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x + 1 \right)} = \sin{\left(x - 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График